资源简介

第四章 指数函数与对数函数章末复习
[知识体系]
[题型突破]
题型一 指数与对数的运算
【例1】　计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.
【感悟反思】
指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
跟踪训练
1．设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)
A．6 B．3
C．2 D．1
题型二 指数函数、对数函数的图象及应用
【例2】　(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)
A　 　B　 　C　 　D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
【感悟反思】
1．识别函数的图象从以下几个方面入手
(1)单调性：函数图象的变化趋势；
(2)奇偶性：函数图象的对称性；
(3)特殊点对应的函数值．
2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.
跟踪训练
2．函数y＝1＋(x－1)的图象一定经过点(　　)
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
题型三 比较大小
【例3】　若0A．3y<3x B．logx3C．log4x【感悟反思】
1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．
2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．
4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．
跟踪训练
3．设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
题型四 指数函数、对数函数的性质
【例4】　(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
【多维探究】
1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，判断其奇偶性．
2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．
【感悟反思】
1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
题型五 函数的应用
【例5】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
【感悟反思】
指数函数模型的应用
在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N1＋px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.
跟踪训练
4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
参考答案
[题型突破]
题型一 指数与对数的运算
【例1】　解：(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.
跟踪训练
1．答案：D
由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
题型二 指数函数、对数函数的图象及应用
【例2】
(1)答案：B
由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.
(2)解：①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
跟踪训练
2．答案：C
把y＝x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．
题型三 比较大小
【例3】　答案：C
因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误．
跟踪训练
3．答案：C
∵a＝log2π>log22＝1，b＝π<1＝0，c＝π－2＝，即0∴a>c>b，故选C.
题型四 指数函数、对数函数的性质
【例4】(1)答案：A
由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．
(2)解：①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝2＋∈，
所以所求函数的值域为.
【多维探究】
1．解：∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋)，
∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
2．解：由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，
∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，
∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.
题型五 函数的应用
【例5】解：　(1)最初的质量为500 g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0.9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．
跟踪训练
4．解：设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得×n≤，
即n≤.
则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
故n≥≈7.4，
考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．

展开更多......

收起↑