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2.2　基本不等式（2）
【学习目标】
1. 熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．
2．会用基本不等式求解实际应用题．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本45～48，思考并完成以下问题
(1) 在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？
(2) 一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？
二、课前小测
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A.　　　　B．4　　　　C.　　　　D．5
2．若x>0，则x＋的最小值是________．
3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
三、新知探究
已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
四、题型突破
题型一 利用基本不等式求最值
【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[思路点拨]　(1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
【反思感悟】
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.
【跟踪训练】
1．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；
(2)已知0题型二 利用基本不等式求条件最值
【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
【多维探究】
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
【反思感悟】
1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．
【跟踪训练】
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
题型三 利用基本不等式解决实际问题
【例3】　如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
【反思感悟】
1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
2．对于函数y＝x＋(k>0)，可以证明0＜x≤及－≤x＜0上均为减函数，在x≥及x≤－上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±时，可用基本不等式，不包含±时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习)。
【跟踪训练】
3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝.
五、达标检测
1．思考辨析
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．(　　)
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.(　　)
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　)
2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．2　　　　 D．4
3．已知0A. B.
C. D.
4．已知x>0，求y＝的最大值．
六、本课小结
1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.
参考答案
课前小测
1．答案：C　
∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2＝
.
故y＝＋的最小值为.]
2．答案：2　
x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．
3．答案：100　
∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，
∴xy≤100.
题型突破
【例1】解析：　(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵0∴1－2x>0，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
【跟踪训练】
1．解析：(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2
＝，
当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
【例2】解析：∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
【多维探究】
解析：∵x，y∈R＋，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
【跟踪训练】
2．解析：法一：＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
【例3】　解析：设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
【跟踪训练】
3．解析：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2 000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
达标检测
1．答案：　(1)√　(2)√　(3)×
2．答案：A　
由基本不等式得，ab≤2＝1.
3．答案：A　
∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．
4．解析：y＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．

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