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3.1.1　函数的概念导学案
【学习目标】
1. 理解函数的概念，了解函数构成的三要素．
2．会求一些简单函数的定义域、值域．
3．能正确使用区间表示数集.
【学习重难点】
重点： 1.函数的概念；2．定义域的求法．
难点：对函数符号y＝f(x)的理解.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P60～66，思考并完成以下问题
(1)在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？
　
　
　
　
(2)如何用区间表示数集？
　
　
　
(3)相等函数是指什么样的函数？
　
　
预习任务二：简单题型通关
1．设函数f(x)＝3x4－1，则f(a)－f(－a)＝(　　)
A．0　　　　　　　 B．3a4－1
C．6a4－2 D．6a4
2．下列函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝3x
B．f(x)＝x；g(x)＝
C．f(x)＝x2；g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝|x|；g(x)＝
3．{x|x<2或x≥3}用区间表示为________．
4．函数y＝的定义域为A，函数y＝的值域是B，则A∩B＝________(用区间表示)．
二、新知精讲
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是_____________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做____________，_____________叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做__________，函数值的集合_____________叫做函数的值域．显然，值域是集合B的____________．
[点睛]　对函数概念的3点说明
(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
3．其它区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
[点睛]　关于无穷大的2点说明
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．
三、题型探究
题型一：函数的判断
[例1]　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)
A．0　　　　　　 　B．1
C．2 D．3
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
① f：把x对应到3x＋1；　② g：把x对应到|x|＋1；
③ h：把x对应到；　 ④ r：把x对应到.
[归纳总结]
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．　　　　
[活学活用]
1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
题型二：相等函数
[例2]　下列各组函数中是相等函数的是(　　)
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
[归纳总结]
判断函数相等的方法
判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则．
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．　　　　
[活学活用]
2．下列各组式子是否表示同一函数？为什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，y＝；
(4)y＝，y＝x－3.
题型三：求函数的定义域
[例3]　求下列函数的定义域：
(1)y＝－； (2)y＝.
[归纳总结]
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．　　　　
[活学活用]
3．求下列函数的定义域：
(1)y＝2＋；
(2)y＝·；
(3)y＝(x－1)0＋ .
题型四：求函数值和值域
[例4]　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.
(2)求下列函数的值域：
①y＝x＋1；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
③y＝；
④y＝2x－.
[归纳总结]
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．求函数值域常用的4种方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．　　　　
[活学活用]
4．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1； (2)y＝.
四、达标检测
1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为(　　)
A．{－1,0,3}　　　　　　 B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
2．设f(x)＝，则等于(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
3．下列各组函数表示同一函数的是(　　)
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
4．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
五、本课小结
1. 判断对应关系是否为函数的条件
2. 判断函数相等的方法
3. 求函数定义域的常用方法
4．求函数值域常用的4种方法
参考答案
课前预习
1．答案：A
2．答案：D
3．答案：(－∞，2)∪[3，＋∞)
4．答案：[0,1)∪(1，＋∞)
新知精讲
1.(1) 非空的数集 任意一个数x 唯一确定的数f(x) y＝f(x)，x∈A
(2) 自变量 x的取值范围 函数值 {f(x)|x∈A} 子集
题型探究
[例1](1)[解析]　①中，因为在集合M中当1[答案]　B
(2)[解析]　①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．
同理，②也是实数集R上的一个函数．
③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．
④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在．
[活学活用]
1．解析：选B　A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.
[例2]　[解析]　对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是相等函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
[答案]　B
[活学活用]
2．解析：(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f(x)与φ(t)是同一函数．
(2)y＝的定义域为R，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，两者定义域不同，故y＝与y＝()2不是同一函数．
(3)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一函数．
(4)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一函数.
[例3]　[解析]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
[活学活用]
3．解析：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(3)函数有意义，当且仅当
解得x>－1，且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
[例4]　(1)[解析]　∵f (x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g (x)＝x2＋2，
∴g (2)＝22＋2＝6，
∴f ( g(2))＝f (6)＝＝.
[答案] 　
(2)[解析]　①(观察法)因为x∈R，所以x＋1∈R，即函数值域是R.
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
③(分离常数法)y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2 2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.
[活学活用]
4．解析：(1)因为≥0，所以＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，又函数的定义域为R，所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].
四、达标检测
1．解析：x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3.
答案：A
2．解析：f(2)＝＝＝.
f()＝＝＝－.
∴＝－1.
答案：B
3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．
答案：C
4．解析：(1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，
f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.

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