资源简介

3.1.3　分段函数导学案
【学习目标】
1. 了解简单的分段函数，会求分段函数的值．
2．会画简单的分段函数图象，会应用函数图象解决简单的问题．
【学习重难点】
重点： 会求分段函数的值．
难点：会应用分段函数的图象解题.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P68～71，思考并完成以下问题
(1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？
　(2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？
预习任务二：简单题型通关
1．已知函数f(x)＝则f(1)等于(　　)
A．0　　　 B．1　　　　 C.　　　　 D．2
2．函数f(x)＝的定义域为________．
3．函数f(x)＝|x－2|的图象为(　　)
4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
A. B．3 C. D.
二、新知精讲
分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的_________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是____________．
[点睛]　(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
三、题型探究
题型一 分段函数求值
[例1]　已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[归纳总结]
1．求分段函数的函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．求某条件下自变量的值的方法
先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．　　　　
[活学活用]
1．(山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2　　　　　　　B．4 C．6 D．8
2．函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________.
题型二 分段函数的图象
题点一：分段函数图象的作法
[例2] 已知f(x)＝画出f(x)的图象．
[归纳总结]
分段函数图象的画法
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．　　　　
题点二：由函数的图象确定其解析式
[例3]已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是________．
题型三 分段函数的图象的简单应用
[例4]　已知f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
[归纳总结]
对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
[活学活用]
3．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
五、达标检测
1．函数y＝＋x的图象为(　　)
2．已知f(x)＝则f()等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．7 D．无法确定
3．下列给出的式子是分段函数的是(　　)
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．③④
4．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
五、本课小结
1. 求分段函数的函数值的方法
2. 求某条件下自变量的值的方法
3. 分段函数图象的作法
参考答案
课前预习
1．答案：B
2．答案：[1，＋∞)
3．答案：B
4．答案：D
新知精讲
对应关系 并集 空集
题型探究
[例1]　[解析]　(1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，则|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，则＝，得x＝±，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值为±.
[活学活用]
1．解析：选C　当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f＝6.
2．答案：－或10
解析：当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，
∴x0＝－或x0＝(舍去)；
当x0>2时，f(x0)＝x0，∴x0＝10.
综上可知，x0＝－或x0＝10.
[例2]解析：利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
[例3] 解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.
答案：
[例4]　[解析]　(1)当x≥1时，|x－1|＝x－1，|x＋1|＝x＋1，故f(x)＝(x－1)＋(x＋1)＝2x；
当－1＜x＜1时，|x－1|＝1－x，|x＋1|＝x＋1，故f(x)＝(1－x)＋(x＋1)＝2；
当x≤－1时，|x－1|＝1－x，|x＋1|＝－x－1，
故f(x)＝(1－x)＋(－x－1)＝－2x；
故
(2)函数f(x)的图象如图：
(3)由函数图象可以得知函数的值域为[2，＋∞)．
[活学活用]
3．解析：由题意得，画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
达标检测
1．答案：D
解析：.
2．答案：B
解析：∵1<<6，∴f()＝.
3．答案：B
解析：
① √ 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．
② × 当x＝2时，f(2)＝3或4，故不是函数．
③ × 当x＝1时，f(1)＝5或1，故不是函数．
④ √ 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系.
4．答案：A
解析：因为f(1)＝2，所以由f(a)＋f(1)＝0，得f(a)＝－2，所以a肯定小于0，
则f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.

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