资源简介

3.2.1　函数的单调性导学案
【学习目标】
1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
3.能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.
【学习重难点】
重点：函数单调性的概念、判断函数单调性的一般方法、求函数的单调区间．
难点：用概念判断函数的单调性、求函数的单调区间.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P76～79，思考并完成以下问题
(1)增函数、减函数的概念是什么？
　
　
(2)如何表示函数的单调区间？
　
(3)函数的单调性和单调区间有什么关系？
　
预习任务二：简单题型通关
1．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)0
2．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有(　　)
A．a≥　　　　　　 B．a≤
C．a>－ D．a<
3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)为增函数，当x∈(－∞，－2]时，函数f(x)为减函数，则m等于(　　)
A．－4 B．－8
C．8 D．无法确定
4．函数f(x)＝|x－1|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
二、新知精讲
1．定义域为I的函数f(x)的增减性
[点睛]　定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
2．单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
[点睛]　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．
三、题型探究
题型一 函数单调性的判定与证明
[例1]　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[归纳总结]
利用定义证明函数单调性的4个步骤
[活学活用]
1．证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
[例2]　画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
[归纳总结]
求函数单调区间的2种方法
法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．　　　　
[活学活用]
2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．
3．求函数f(x)＝的单调减区间．
题点一：利用单调性比较大小
1．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a)　　　 　B．f(a2)C．f(a2＋a)题点二：利用单调性解不等式
2．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围．
题点三：已知单调性求参数范围
3．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[归纳总结]
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．　　
四、易错误区
对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误
[典例]　若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，求实数a的取值范围．
[错解]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，解得a≤－3.
[正解]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1－a.
因为函数的单调递减区间是(－∞，4]，
所以1－a＝4，解得a＝－3.
故实数a的取值范围是{－3}．
[易错警示]
错误原因 纠错心得
错解把单调区间误认为是在区间上单调. 单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.
五、达标检测
1．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是(　　)
A．f()>f(a2－a＋1)
B．f()≥f(a2－a＋1)
C．f()D．f()≤f(a2－a＋1)
2．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　　 B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
3．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．
4．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是________．
六、本课小结
1. 增函数、减函数的概念
2. 利用定义证明函数单调性的方法
3. 求函数单调区间的方法
参考答案
课前预习
1．答案：C
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：[1，＋∞)　(－∞，1]
题型探究
[例1]　[证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1∵x1∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)∴函数f (x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f (x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
[活学活用]
1．证明：设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1(x1－x2)＝.
∵0∴x1－x2<0,0∴>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数.
[例2]　 [解析]　
y＝
即y＝
函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
[活学活用]
2．
解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．
答案：[－1.5,3]和[5,6]
3．解析：函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞).
题点一：利用单调性比较大小
1．解析：选D　因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)题点二：利用单调性解不等式
2．解析：∵函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，∴2x－3>5x＋6，解得x<－3.∴x的取值范围为(－∞，－3)．
题点三：已知单调性求参数范围
3．解析：设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
达标检测
1．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝(a－)2＋≥>0，
∴f(a2－a＋1)≤f()．
答案：B
2．解析：f(x)＝x|x－2|＝
作出f(x)简图如图：
由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．
答案：C
3．解析：由题设可知m－1<2m－1，即m>0.
答案：m>0
4．解析：得≤a＜.
答案：≤a＜

展开更多......

收起↑