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3.2.1　函数的最大(小)值导学案
【学习目标】
1. 理解函数的最大值、最小值及其几何意义
2. 能求一些简单函数的最大值、最小值。
【学习重难点】
重点：函数最大(小)值的概念及其几何意义．
难点：求简单函数的最大值或最小值.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P79～81，思考并完成以下问题
(1)函数最大(小)值的定义是什么？
(2)从函数的图象可以看出函数最值的几何意义是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)
A．有最大值无最小值　　 B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
2．已知f(x)＝x2－4x＋3
(1)f(x)在[0,1]上的最小值是________，
(2)f(x)在[3,4]上的最小值是________，
(3)f(x)在[0,4]上的最小值是________．
3．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为(　　)
A．10,6　 B．10,8　　 C．8,6　　 D．以上都不对
二、新知精讲
函数的最大(小)值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M f(x)≥M
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
[点睛]　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
三、题型探究
题型一 图象法求函数的最值
[例1]　如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
[归纳总结]
用图象法求最值的3个步骤
[活学活用]
1．求函数f(x)＝的最值．
题型二 利用单调性求函数的最值
[例2]　已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
[归纳总结]
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．
(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．　　　　
[活学活用]
2．已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
题型三 实际应用中的最值
[例3]　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
[归纳总结]
解实际应用问题的5个步骤
(1)审：审清题意，读懂题，找出各量之间的关系．
(2)设：从实际问题中抽象出数学模型，恰当设出未知数．
(3)列：根据已知条件列出正确的数量关系．
(4)解：转化为求函数的最值或解方程或解不等式．
(5)答：回归实际，明确答案，得出结论．　　　　
[活学活用]
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[例4]　求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求f(x)的最大值．
2．[变设问]在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值．
3．[变条件，变设问]本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．
[归纳总结]
求解二次函数最值问题的顺序
(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图．
(2)在图象上标出定义域的位置．
(3)观察单调性写出最值．　　　　
四、达标检测
1．若函数y＝x2＋2x＋2在闭区间 [m,1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是(　　)
A．[－1,1]　　　　　　 B．[－1，＋∞)
C．[－3,0] D．[－3，－1]
2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
3．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一最大值－5，求a的值．
五、本课小结
1. 函数最大(小)值的定义是什么？
2. 函数最值的几何意义是什么？
3. 函数的最值与单调性的关系。
参考答案
课前预习
1．答案：A
2．答案：(1)0　(2)0　(3)－1
3．答案：A
题型探究
[例1]　 [解]　观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.
[活学活用]
1．解析：函数f(x)的图象如图所示．
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值．
[例2]　[解]　(1)证明：设对于任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1∵x2>x1>1，∴x1－x2<0，
又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故(x1－x2)·<0，即f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，
∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．
又f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝，
∴f(x)在[2,4]上的最大值为，最小值为.
[活学活用]
2．解析：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1由2≤x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)＝是区间[2,6]上的减函数．
因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.
[例3]　[解]　(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000.
当x>400时，
f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．
[活学活用]
3．解析：设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，则y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000.
即售价为70元时，利润最大值为9 000元.
[例4]　[解]　∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
[一题多变]
1．解析：∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，
当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a.
∴f(x)max＝
2．解析：由本例解析知f(x)min＝
当a＜2时，6－4a＝2，a＝1；
当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；
当a＞4时，若18－8a＝4，a＝(舍去)．
∴a的值为1.
3．解析：在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，
即a≥f(x)max，x∈[2,4]．
由本例探究1知f(x)max＝
(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.
(2)当a＞3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a＞3.
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．
达标检测
1．解析：函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，所以图象开口向上，对称轴是x＝－1，最小值为1，要使函数值为5，需x＝1或x＝－3，所以m的取值范围是[－3，－1]．
答案：D
2．解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售15－x辆，公司获利为
L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30
＝－(x－)2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案：C
3．解析：此二次函数的对称轴为直线x＝.当<0，即a<0时，[0,1]是f(x)的递减区间．则f(x)max＝f(0)＝－4a－a2＝－5，得a＝1，或a＝－5.而a<0，∴a＝－5.
当>1，即a>2时，[0,1]是f(x)的递增区间，则f(x)max＝f(1)＝－4－a2＝－5，得a＝1，或a＝－1.而a>2，∴a不存在．
当0≤≤1，即0≤a≤2时，f(x)max＝f()＝－4a＝－5，a＝.∴a＝－5，或a＝.

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