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3.2.2　函数的奇偶性导学案
【学习目标】
1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2. 理解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.，会判断函数的奇偶性
【学习重难点】
重点：奇偶性的判断方法．．
难点：函数奇偶性与图象的对称性之间的关系..
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P82～86，思考并完成以下问题
(1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？
(2)奇、偶函数的定义域有什么特点？
(3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？
预习任务二：简单题型通关
1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点(　　)
A．(a，f(－a))　　　　　　 B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
A．4 B．2
C．1 D．0
3．下列说法正确的是(　　)
A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为奇函数
4．已知f(x)是偶函数，且f(2)＝2，则f(2)＋f(－2)＝________.
二、新知精讲
1、偶函数和奇函数
偶函数 奇函数
定义 条件 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
结论 函数f(x)叫作偶函数 函数f(x)叫作奇函数
图象特征 图象关于y轴对称 图象关于原点对称
2、奇偶性
定义 如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性
图象特征 奇(偶)函数图象关于原点或y轴对称
三、题型探究
题型一 判断函数的奇偶性
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[归纳总结]
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：
①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．
②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
(2)图象法：
①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数．
②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数．
③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．
④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)性质法：
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．　　　　
[活学活用]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝.
[例2]　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.　
[归纳总结]
利用奇偶性求参数的常见类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．　　　　
[活学活用]
2．设函数为奇函数，则a＝________.
[例3]　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[一题多变]
1．[变设问]本例条件不变，求f(－2)的值．
2．[变条件]若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式．
[归纳总结]
利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　　　
题点一：比较大小问题
1．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　)
A．f(1)>f(－10)　　 　B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
题点二：区间内的最值问题
2．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有(　　)
A．最小值6 B．最小值－6
C．最大值－6 D．最大值6
题点三：解不等式问题
3．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)[归纳总结]
函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)四、达标检测
1．下列函数中，偶函数是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|　　　 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝|x－1|＋|x＋1|
2．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于y＝x对称 D．关于y＝－x对称
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
4．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，则x<0时，f(x)等于(　　)
A．－x(1＋x) B．x(1＋x)
C．－x(1－x) D．x(1－x)
五、本课小结
1、偶函数与奇函数的定义分别是什么？有什么性质？
2、怎样判断函数的奇偶性？
参考答案
课前预习
1．答案：C
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：4
题型探究
[例1]　[解析]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
[活学活用]
1．解析：(1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数.
[例2]　 [答案]　(1)　0　(2)0
[解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[活学活用]
2．答案：－1
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
[例3]　[解析]　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
[一题多变]
1．解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－2×2＋3)＝－3.
2．解析：当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
题点一：比较大小问题
1．解析：选A　∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
题点二：区间内的最值问题
2．解析：选C　因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
题点三：解不等式问题
3．解析：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
四、达标检测
1．答案：D
解析：由偶函数定义知f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是偶函数．
2．答案：B
解析：f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
3．答案：D
解析：遇到以偶函数为背景的此类题目，画出不含坐标轴的二次函数简图．
若f(x)在(－∞，0]上递减，则开口向上，若f(x)在(－∞，0]上递增，则开口向下．如图所示：
易得f(x)<0时x的范围是(－2,2)．
4．答案：B
解析：设x<0，则－x>0，
∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．

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