资源简介

3.3　幂函数导学案
【学习目标】
1.了解幂函数的概念．
2. 结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况.
【学习重难点】
重点：幂函数的概念、图象、性质．
难点：利用幂函数的性质来解决有关问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P89～91，思考并完成以下问题
(1)幂函数是如何定义的？
(2)幂函数的解析式具有什么特点？
(3)常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
预习任务二：简单题型通关
1．下列函数中，不是幂函数的是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　　 B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2
2．幂函数y＝xα(α∈R)恒过定点________．
3．已知幂函数f(x)满足f(2)＝，则f(x)＝________.
二、新知精讲
1．幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
[点睛]　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．
2．常见幂函数的图象与性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增
定点 (1,1)
[点睛]　幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．
三、题型探究
题型一 幂函数的概念
[例1]　已知幂函数y＝(m2－m－1) ，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
[归纳总结]
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[活学活用]
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　　 B．y＝
C．y＝22x D．y＝x－1
题型二 比较幂值的大小
[例2]　比较下列各组数中两个数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
[归纳总结]
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，底数不同，则考虑用幂函数的单调性比较；
(2)若指数不同，则考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．
[活学活用]
2．比较下列各组值的大小：
(1)(－0.31)6，0.356
(2)1.2，1.4，1.42
题型三 幂函数的图象与性质（一题多变 思维发散）
[例3]　已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P ，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
[一题多变]
本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性．
[归纳总结]
幂函数图象的画法
(1)确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
(2)确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．　　　　
四、达标检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． (　　)
(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． (　　)
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． (　　)
2．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．1－
C.－1 D．1
3．函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m的值为(　　)
A．4 B.3
C．－1或2 D．2
4.如图为幂函数y＝x(i＝1,2,3,4)在第一象限内的图象，则α1，α2，α3，α4按由小到大的顺序排列为________．
五、本课小结
1、幂函数的解析式具有什么特点？
2、常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
参考答案
课前预习
1．答案：A
2．答案：(1,1)
3．答案：
题型探究
[例1]　[解析]　∵y＝(m2－m－1) 为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝x0，定义域为{x|x≠0}．
[活学活用]
1．解析：选C　显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A、B、D中的α分别为，，－1，符合幂函数的结构特征，故选C.
[例2]　 [解析]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
[活学活用]
2．解析：(1)∵y＝x6为R上的偶函数，
∴(－0.31) 6＝0.316.
又函数y＝x6为[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.35，
∴0.316＜0.356，即(－0.31) 6＜0.356.
(2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴1.2<1.4.
又∵y＝1.4x为增函数，且<2，∴1.4<1.42，
∴1.2<1.4<1.42.
[例3]　 [解析]　因为f(x)＝xα的图象过点P ，所以f(2)＝，即2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
[一题多变]
解析：由本例知，f(x)＝x－2，且定义域关于原点对称
则f(－x)＝(－x)－2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
达标检测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：设幂函数f(x)＝xα，∴9α＝3，∴α＝，
∴f(x)＝x＝，∴f(2)－f(1)＝－1.
答案：C
3．解析：解得m＝2.
答案：D
4. 解析：对于不同幂函数在(0，＋∞)的图象，在直线x＝1右侧，从上向下，指数幂逐渐减小，在直线x＝1左侧，从上向下，指数幂逐渐增大．
答案：α3，α2，α4，α1

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