资源简介

3.4　　函数的应用（一）导学案
【学习目标】
1.根据数据的特点建立函数模型，解决实际问题．
2.通过实例了解函数模型的广泛应用，进一步巩固运用函数解应用题的步骤和方法.
【学习重难点】
重点：将实际问题转化为数学问题．
难点：用函数模型刻画实际问题找到解决实际问题的基本方法
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P93～95，思考并完成以下问题
(1)一、二次函数的表达形式分别是什么？
(2)解决实际问题的基本过程是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．(　　)
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．(　　)
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
3．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)．则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为(　　)
A．3.71　　　　　　　　 B．3.97
C．4.24 D．4.77
二、新知精讲
几种常用的函数模型：
一次函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
反比例函数模型：y＝＋b，(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
幂函数模型：y＝a·xb＋c(a，b，c为常数，a≠0)
三、题型探究
题型一 二次函数模型
[例1]　某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x(元) 30 40 45 50
日销售量y(件) 60 30 15 0
(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
[归纳总结]
二次函数模型应用题的4个步骤
(1)审题：理解题意，设定变量x，y.
(2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域．
(3)解模：运用二次函数相关知识求解．
(4)结论：回归到应用问题中去，给出答案．　　　　
[活学活用]
1．据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系．
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
题型二 分段函数模型
[例2]　提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[归纳总结]
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．　　　　
[活学活用]
2．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
四、达标检测
1．如图表示人的体重与年龄的关系，则(　　)
A．体重随年龄的增长而增加
B．25岁之后体重不变
C．体重增加最快的是15岁至25岁
D．体重增加最快的是15岁之前
2．某家庭某年一月份、二月份和三月份的煤气用量和支付费用如表所示：
月份 用气量 煤气费
一月 4 m3 4元
二月 25 m3 14元
三月 35 m3 19元
该市煤气收费标准是：煤气费＝基本费＋保险费＋超额费．若该月用气量不超过A m3，那么只付基本费3元和每户每月的定额保险费C元；若用气量超过A m3，那么超出部分付超额费，每立方米为B元．又知保险费C元不超过5元，根据上述条件及数据求出A的值为________，B的值为________．
3．某汽车油箱中存油22 kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y(kg)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________．
4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
五、本课小结
1、利用函数模型解决问题的一般方法
2、你知道哪些常见函数模型？它具有哪些性质？
参考答案
课前预习
1．答案：(1)√　(2)√
2．答案：C
3．解析：f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
答案：C
题型探究
[例1]　[解析]　(1)如图：
设f(x)＝kx＋b，
则解得
所以f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，检验成立．
(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4 500，30≤x≤50.
因为对称轴x＝－＝40∈[30,50]，
所以当销售单价为40元时，所获日销售利润最大．
[活学活用]
1．解析：(1)由题可设y＝a(x－15)2＋17.5，将x＝10，y＝20代入上式，
得20＝25a＋17.5.
解得a＝.
所以y＝0.1x2－3x＋40(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
因为x＝23∈[10,25]，
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.
[例2]　[解析]　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
(2)依题意并结合(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝x(200－x)＝－(x－100)2＋≤，当且仅当x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．
[活学活用]
2．解析：(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.
达标检测
1．解析：∵函数不是增函数，∴A错；[25,50]上为增函数，故B错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快．
答案：D
2．解析：一月：4＝3＋C，∴C＝1元，由此可判断二月、三月用气量超过A m3.
二月：14＝(25－A)B＋C+3
三月：19＝(35－A)B＋C+3
解得A＝5，B＝.
答案：5　
3．解析：流速为＝，x分钟可流x.
答案：y＝22－x
4．解析：L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
答案：2 500

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