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4.1　指数导学案
【学习目标】
1. 理解n次方根及根式的概念, 会用根式的运算性质进行简单运算.
2．掌握根式与分数指数幂的互化, 会用有理指数幂的运算性质进行简单运算.
【学习重难点】
重点：分数指数幂的意义．
难点：会用根式、指数幂的运算性质进行简单运算.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P104～108，思考并完成以下问题
(1)n次方根是怎样定义的？
(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？
(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
预习任务二：简单题型通关
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　)
(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．(　　)
(3) ＝4－π.(　　)
(4)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)
(5)0的任何指数幂都等于0.(　　)
2.可化为(　　)
A．a　　　 B．a
C．a　　　 D．.－a
3．化简的结果是(　　)
A．5 B．15 C．25 D．125
4．计算：π0＋2－2×＝________.
二、新知精讲
1．n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
个数 n是奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0 x不存在
[点睛]　根式的概念中要求n＞1，且n∈N*.
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①()n＝a.　②＝
[点睛]　()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.
3．分数指数幂的意义
分数指幂 正分数 指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数 指数幂 规定：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
[点睛]　分数指数幂a不可以理解为个a相乘．
4．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
5．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
三、题型探究
题型一 根式的化简与求值
[例1]　化简：
(1)(x＜π，n∈N*)；
(2).
[归纳总结]
根式化简应遵循的3个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．
(2)被开方数是带分数的要化成假分数．
(3)被开方数中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．　　　　
[活学活用]
1．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x＞0，y＞0　　　　　　　 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
2．若＝，则实数a的取值范围为________．
题型二 根式与分数指数幂的互化
[例2]　用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)； (2)a3·； (3) .
[归纳总结]
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．　　　　
[活学活用]
3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝(－x) (x＞0) B.＝(y＜0)
C．＝ (x＞0) D．＝－(x≠0)
4．将下列根式与分数指数幂进行互化：
①a； ② (a＞0)； ③(a＞0)．
题型三 指数幂的运算
[例3]　计算下列各式：
(1)0＋2－2×－－0.010.5；
(2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75；
(3) · (a>0，b>0)．
[归纳总结]
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．　　　　
[活学活用]
5．计算：
(1)0.027－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4·3.
[例4]　已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[一题多变]
1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.
2．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 值．
[归纳总结]
条件求值的步骤
四、达标检测
1．化简的结果是(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．－ D．
2．(0.027)的值是(　　)
A. B.
C. D．
3．计算：2××＝________.
4．化简：()2＋＋.
五、本课小结
1、根式的概念与性质
2、分数指数幂的意义
3、有理数指数幂的运算性质
4、无理数指数幂
参考答案
课前预习
1. 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2. 答案：A
3．答案：D
4．答案：
题型探究
[例1]　[解]　(1)∵x＜π，∴x－π＜0.
当n为偶数时，
＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，
＝x－π.
综上可知，＝
(2)∵a≤，∴1－2a≥0，
∴＝＝＝.
[活学活用]
1．解析：选B　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.
又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.
2．解析： ＝|2a－1|，
＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a，
故2a－1≤0，所以a≤.
答案：
[例2]　[解]　(1)＝＝.
(2)a3·＝a3·a＝＝a.
(3) ＝＝b·＝b·(－a－2) ＝－ba
[活学活用]
3．解析：选C　－＝－x (x＞0)；
＝[(y)2]＝－ (y＜0)；
＝(x－3)＝ (x＞0)；
＝＝(x≠0)．
4．解析：①a＝.
② ＝a·a＝a.
③原式＝a3·a·a＝a＝a.
[例3]　[解]　(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(3)原式＝·a·a·b·b＝a0b0＝.
[活学活用]
5．解析：(1)原式＝－＋(44) ＋(2)－＋1
＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
(3)原式＝2a÷(4ab)·(3b)
＝ab·3b＝.
[例4]　[解]　(1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.
[一题多变]
1．解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
答案：±3
2．解析：＝＝. ①
∵a＋b＝12，ab＝9， ②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6. ③
将②③代入①，得＝＝－.
达标检测
1．解析：依题意知x<0，∴＝－＝－.
答案：A
2．解析：(0.027) ＝[(0.3)3] ＝0.3＝0.3－2＝＝＝.
答案：A
3．解析：2××＝2×3××(3×22)
＝2×3＝2×3＝6.
答案：6
4．解析：由题得a≥1，
∴()2＋＋
＝a－1＋|1－a|＋1－a
＝a－1.

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