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4.2　指数函数图象及其性质导学案
【学习目标】
1.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．
2．初步掌握指数函数的有关性质.
【学习重难点】
重点：指数函数的图象和性质．
难点：指数函数的图象和性质的应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P111～117，思考并完成以下问题
(1)指数函数的概念是什么？
(2)结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？
(3)指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？
预习任务二：简单题型通关
1．函数y＝2x的图象是(　　)
2．函数f(x)＝ax的图象经过点(1,2)，则f(0)的值是________，a＝________.
3．函数f(x)＝2x与y轴的交点坐标为________．
4．函数y＝(a－2)x在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．
二、新知精讲
1．指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
[点睛]　指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图　象
a＞1 0＜a＜1
性　　质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过点(0,1)即x＝0时，y＝1
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
[点睛]　底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的．
三、题型探究
题型一 指数函数的概念
[例1]　(1)下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是(　　)
A．0　　　　 B．1
C．2　　　　 D．3
(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝3　　　　　　　　 B．a＝1
C．a＝3 D． a>0且a≠1
[归纳总结]
判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．　　　　
[活学活用]
1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
题型二 指数型函数的定义域和值域
[例2]　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝－|x|；(3)y＝ .
[归纳总结]
指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．　　　　
[活学活用]
2．求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝； (2)y＝.
题点一：指数型函数过定点问题
1．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
题点二：指数型函数图象中数据判断
2．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D． 0＜a＜1，b＜0
题点三：作指数型函数的图象
3．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x＋1； (2)y＝－2x.
[归纳总结]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
四、易错误区
换元时忽略中间变量的范围导致错误
[典例]　求函数y＝x＋x＋1的值域．
[易错警示]
错误原因 纠错心得
原函数的自变量x的取值范围是R，换元后，t＝x的取值范围应为(0，＋∞)．错解中把t的取值范围当成了R. 求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是(0，＋∞)．一般地，对于y＝af(x)型函数，先求出f(x)的值域A，再画出y＝ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性，就能很容易求出原函数的值域.
五、达标检测
1．下列函数：
①y＝3·5x；②y＝5x＋2；③y＝5x；④y＝x5.
其中，指数函数的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
2．若3x＋1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B.(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
3．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
4．y＝3的值域是________．
六、本课小结
1、指数函数的概念是什么？
2、指数函数具有哪些性质？
参考答案
课前预习
1．答案：D
2．答案：1　2
3．答案：(0,1)
4．答案：a>3
题型探究
[例1]　[解析]　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．
(2)由指数函数定义知所以解得a＝3.
[答案]　(1)B　(2)C
[活学活用]
1．解析：由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
可得解得∴a＝2.
答案：2
[例2]　[解]　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．∵≠0，∴≠1，∴y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(3)由题意知1－x≥0，∴x≤1＝0，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0∴x≤1.又∵x＞0，∴0＜x≤1.∴0≤1－x＜1，∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．
[活学活用]
2．解析：(1)由5x－1≥0，得x≥，
所以所求函数的定义域为.由≥0，得y≥1，
所以所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴.≤－4＝16.又∵＞0，
∴函数y＝的值域为(0,16].
题点一：指数型函数过定点问题
1．解析：因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
答案：(3,4)
题点二：指数型函数图象中数据判断
2．解析：选D　从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
题点三：作指数型函数的图象
3．解析：如图．
(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的；
(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
易错误区
[错解]　令t＝x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋≥，
当t＝－时，ymin＝，即函数的值域是.
[正解]　令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.
因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，
所以y＞2＋＝1，
即原函数的值域是(1，＋∞)．
达标检测
1．解析：由指数函数定义知只有③是指数函数．
答案：B
2．解析：3x＋1<1＝30，∵y＝3x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
答案：D
3．解析：(1)当a>1时，y＝ax是增函数，∴y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，
∴a2－a＝，即a2＝a，∴a＝；
(2)当0∴a－a2＝，∴a＝.
综上所述a＝或a＝.
答案：或
4．解析：设t＝x2＋1，则t≥1，∵y＝3t是增函数，∴y＝3t≥31＝3.
答案：[3，＋∞)

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