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4.2　指数函数图象及其性质的应用导学案
【学习目标】
1．掌握指数函数的图象和性质．
2．掌握函数图象的平移变换和对称变换．
3．会解指数函数型的应用题.
【学习重难点】
重点：利用指数函数的图象和性质解题．
难点：利用函数图象的平移变换和对称变换画复杂函数的图象..
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P117～120，思考并完成以下问题
(1) 指数函数具有哪些性质？
(2) 解决指数函数应用题的步骤有哪些？
预习任务二：简单题型通关
1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
2.指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则(　　)
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．03．y＝2|x|的图象可能是(　　)
4．y＝ax＋1(a>0且a≠1)过定点________．
二、新知精讲
1、图象平移
若已知y＝ax的图象，则把y＝ax的图象向左平移b(b>0)个单位，得到y＝ax＋b的图象；把y＝ax的图象向右平移b(b>0)个单位，得到y＝ax－b的图象；把y＝ax的图象向上平移b(b>0)个单位，得到y＝ax＋b的图象；把y＝ax的图象向下平移b(b>0)个单位，得到y＝ax－b的图象．
2、图象对称
若已知y＝ax的图象， 则把y＝ax在y轴右侧的图象不变，把y＝ax在y轴右侧的图象关于y轴对称翻折即得y＝a|x|图象．
3、指数型函数模型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x.
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x.
(3)指数型函数
形如y＝k·ax的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
三、题型探究
题型一 指数函数的图象
[例1]　如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
[归纳总结]
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．
(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．
[活学活用]
1.若函数y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象限，则有(　　)
A．a>1
B．a>1，－1C．00
D．0题型二 函数图象的变换
[例2]　利用函数f(x)＝2x的图象，作出下列各函数的图象．
(1)f(x－1)；(2)f(x＋1)；(3)－f(x)；(4)f(－x)； (5)f(x)－1；(6)f(|x|)．
[归纳总结]
利用熟悉的函数图象作图，主要利用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向平移，要移几个单位；对称需分清楚对称轴是什么，可以通过点与点的坐标关系来判断等．　　　　
[活学活用]
2． (1)f(x)＝ax－1＋1过定点________．
(2)函数y＝a2x＋b＋1(a>0且a≠1，b∈R)的图象恒过定点(1,2)，则b的值为________．
(3)y＝a|x|的图象关于________对称(　　)
A．x轴　　　　　　　 B．y轴
C．原点 D．y＝x
题型三 指数函数的性质
[例3]　(1)若y＝2x＋m·2 －x是偶函数，则m＝________.
(2)已知f(x)＝a＋，且f(x)为奇函数，则a＝________.
(3)已知y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝4x，则f(－)＝________.
[归纳总结]
以指数型函数为背景来考查函数的奇偶性，可以用(1)定义法；(2)图象法；(3)特殊值法来处理．
[活学活用]
3．若f(x)＝，则f(x)图象关于________对称(　　)
A．x轴 B.y轴
C．原点 D．y＝x
[例4]　已知函数y＝()，
(1)求函数的定义域与值域；
(2)确定函数的单调区间．
[归纳总结]
求y＝af(x)单调区间的步骤：
(1)确定f(x)的定义域D.
(2)若a>1，要求原函数的增区间，只需求定义域D内f(x)的增区间；要求原函数的减区间，只需求定义域D内f(x)的减区间．
若0　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[活学活用]
4．判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
题型四 指数函数的实际应用
[例5]　某林区2017年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．
[归纳总结]
解决指数函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　　　
[活学活用]
5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
四、达标检测
1．要得到函数y＝8·2－x的图象，只需将函数y＝x的图象(　　)
A．向右平移3个单位长度
B．向左平移3个单位长度
C．向右平移8个单位长度
D．向左平移8个单位长度
2．若函数f(x)＝a＋满足f(－x)＝－f(x)，则a＝________.
3．若0≤x≤2，求函数y＝4－3·2x＋5的最值．
五、本课小结
1、 指数函数具有哪些性质？
2、 解决指数函数应用题的步骤有哪些？
3、图象平移变换、对称变换有哪些规律？
参考答案
课前预习
1．答案：B
2. 答案：C
3．答案：C
4．答案：(0,2)
题型探究
[例1]　 [解析]　由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b＜a＜1＜d＜c.
[答案]　B　　　　
[活学活用]
1.解析：函数y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象限，结合指数函数的图象，可以得知a>1,0答案：B
[例2]　[解析]　
[活学活用]
2．解析：(1)f(x)＝ax－1＋1的图象是由y＝ax向右平移一个单位，然后向上平移一个单位得来．
(2)令2x＋b＝0，得2×1＋b＝0，∴b＝－2.
(3)y＝a|x|是偶函数，图象关于y轴对称．
答案：(1)(1,2)　(2)－2　(3)B
[例3]　[解析]　(1)∵f(x)＝2x＋m·2－x是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)，即2＋＝＋2m，∴m＝1.
(2)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得＋a＋＋a＝0，解得a＝.
(3)由题设可知f(－)＝－f()＝－4＝－＝－2.
[答案]　(1)1　(2)　(3)－2
[活学活用]
3．解析：f(x)＝＝2x＋＝2x＋2－x，
∴f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
答案：B
[例4]　[解析]　设u＝x2－2x－1，则原函数为y＝()u.
(1)函数的定义域为R.
由u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2知，当x∈R时，u≥－2，此时0(2)因为u＝x2－2x－1在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减；而y＝u在定义域内为减函数，所以原函数y＝在[1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1]上单调递增．
[活学活用]
4．解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∵0[例5]　 [解析]　现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；
…
经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．
故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
[活学活用]
5．解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
答案：19
达标检测
1．解析：y＝8·2－x＝23·2－x＝23－x＝()x－3
设f(x)＝()x，则f(x－3)＝()x－3.
答案：A
2．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝a＋＝a＋＝0，∴a＝－.
答案：－
3．解析：原式可变形为y＝4x·4－3·2x＋5，即y＝·(2x)2－3·2x＋5(0≤x≤2)．
令2x＝t，则问题转化为y＝t2－3t＋5(1≤t≤4)．
将函数配方为y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋(1≤t≤4)，根据二次函数区间最值可知，当t＝3，即2x＝3时，函数取得最小值，最小值为f(3)＝.当t＝1时，即2x＝1，即x＝0时，函数取得最大值，最大值为.

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