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4.3.1　对数导学案
【学习目标】
1.了解对数，常用对数的概念；
2．会用对数的定义进行对数式与指数式的互化；
3．会求简单的对数值.
【学习重难点】
重点：对数式与指数式的互化．
难点：含对数式的计算.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P122～123，思考并完成以下问题
(1)对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？
(2)什么是常用对数和自然对数？
(3)如何进行对数式和指数式的互化？
预习任务二：简单题型通关
1．2m＝3化成对数式是(　　)
A．m＝log32　　　　　 B．m＝log23
C．2＝log3m D．2＝logm3
2．log54＝a化成指数式是(　　)
A．54＝a B.45＝a
C．5a＝4 D．4a＝5
3．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　)
A．R B.(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
4．lg 7与ln 8的底数分别是(　　)
A．10,10 B.e，e
C．10，e D．e,10
二、新知精讲
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
[点睛]　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，可简记为lg_N，简记为ln_N.
3．对数与指数的关系
若a＞0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x.
对数恒等式：＝N；＝x(a＞0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为零；
(2)底的对数为1；
(3)零和负数没有对数．
三、题型探究
题型一 指数式与对数式的互化
[例1]　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　　　　 (2)－2＝16；
(3)log27＝－3; (4) ＝－6.
[归纳总结]
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[活学活用]
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝； (2)3a＝27；
(3)10－1＝0.1; (4)log32＝－5；
(5)lg 0.001＝－3.
题型二 对数的计算
[例2]　求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－； (2)logx8＝6；
(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.
[归纳总结]
求对数值的3个步骤
(1)设出所求对数值；
(2)把对数式转化为指数式；
(3)解有关方程，求得结果．
[活学活用]
2．求下列各式中的x值：
(1)logx27＝； (2)log2x＝－；
(3)x＝log27； (4)x＝log16.
[例3]　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
[一题多变]
1．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？
2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625的值．
3．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3＝1”，又如何求解x呢？
[归纳总结]
1．利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．　　　
四、达标检测
1．已知log2x＝3，则x等于(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D．
2．若log3＝0，则x＝________.
3．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
4．求下列各式中的x：
(1)log2[log2(lg x)]＝0；
(2)logx27＝.
五、本课小结
1、 对数的概念
2、 对数与指数的关系
3、 对数的基本性质
参考答案
课前预习
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：D
4．答案：C
题型探究
[例1]　[解]　(1)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(2)∵－2＝16，∴log16＝－2.
(3)∵log27＝－3，∴－3＝27.
(4)∵log64＝－6，∴()－6＝64.
[活学活用]
1．解析：(1)log2＝－7.
(2)log327＝a.
(3)lg 0.1＝－1.
(4)－5＝32.
(5)10－3＝0.001.
[例2]　[解]　(1)x＝(64)＝(43) ＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23) ＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2.
[活学活用]
2．解析：(1)由logx27＝，可得＝27，
∴x＝27＝＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝2.
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝log16，可得x＝16.
∴2－x＝24，∴x＝－4.
[例3]　[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
[一题多变]
1．解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
2．解：因为x＝625，则625＝3.
3．解：由3＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
达标检测
1．解析：由log2x＝3得x＝23，
∴x＝(23) ＝2＝＝.
答案：D
2．解析：由已知可得＝1，
∴1－2x＝9.
∴2x＝－8.∴x＝－4.
答案：－4
3．解析：∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m＝(am)2＝4；
∵loga3＝n，∴an＝3；
∴a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12.
答案：12
4．解析：(1)log2[log2(lg x)]＝0，
∴log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2，
∴x＝102＝100.
(2)∵logx27＝，
∴x＝27，
∴(x)＝27，
∴x＝(33) ＝34＝81.

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