资源简介

4.3.2　对数的运算导学案
【学习目标】
1. 掌握对数的运算性质．
2. 能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
【学习重难点】
重点：对数的运算性质．
难点：换底公式的应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P123～126，思考并完成以下问题
(1)对数具有哪三条运算性质？
(2)换底公式是如何表述的？
预习任务二：简单题型通关
1．lg 8＋3lg 5的值为(　　)
A．－3　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．3
2．log23·log32的值为(　　)
A. B.1 C. D．2
3．lg 2＋lg 5＝________.
4．log312－log34＝________.
二、新知精讲
1．对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，
(2)logaMN＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
[点睛]　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．换底公式
若c>0且c≠1，则logab＝logcblogca(a>0，且a≠1，b>0)．
三、题型探究
题型一 对数运算性质的应用
[例1]　求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
(2)lg；
(3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[归纳总结]
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　　　　
[活学活用]
1．求下列各式的值：
(1)lg 0.000 01；
(2)ln .
(3)2log32－log3＋log38－；
(4).
[例2]　计算(1)log29·log34；(2).
[归纳总结]
换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
[活学活用]
2．计算(log43＋log83)×.
[例3]　(1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底)．(ln 3≈1.099)
当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
[一题多变]
1．[变设问]若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)
2．[变条件]若将本例(2)条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？
[归纳总结]
解对数综合应用问题的3种方法
(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．
(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．
(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．　　　　
四、易错误区
忽略对数的限制条件导致错误
[典例]　若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求的值．
[易错警示]
错误原因 纠错心得
对数等式中，若含字母参数，要注意隐含条件，此题应有x－y＞0，x＋2y＞0，x＞0，y＞0，由此可得x＞y＞0，则＞0，故＝－1应舍去. 多个变量出现在同一个关系式中，变量的取值范围会受到相互限制，因此应特别注意变量之间的相关联.
五、达标检测
1.＝(　　)
A.　　　 B．1　　　　 C.　　　　 D．2
2．lg＋lg的值是________．
3．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.
4．计算下列各式的值．
(1)lg－lg 4＋lg；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
五、本课小结
1、对数具有哪三条运算性质？
2、 换底公式是如何表述的？
3、对数式化简与求值的基本原则和方法。
参考答案
课前预习
1．答案：D
2．答案：B
3．答案：1
4．答案：1
题型探究
[例1]　[解]　(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.
(2)lg ＝lg 100＝lg 100＝×2＝.
(3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
[活学活用]
1．解析：(1)lg 0.000 01＝lg 10－5＝－5lg 10＝－5.
(2)ln＝ln e＝.
(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(4)原式＝
＝＝
[例2]　[解]　(1)由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
(2)原式＝×＝×
＝×＝×＝－.
[活学活用]
2．解：原式＝×
＝×＋×
＝＋＝.
[例3]　[解]　(1)因为v＝ln2 000
＝2 000·ln，
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
(2)因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝
＝.
[一题多变]
1．解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋ b.
2．解：因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log3645＝＝
＝＝
易错误区
[错解]　因为lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，
所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，
所以(x－2y)(x＋y)＝0，所以＝2或＝－1.
[正解]　前同错解，得＝2或＝－1.
因为x＞0，y＞0，所以＞0，故舍去＝－1，所以＝2.
达标检测
1.解析：＝×＝×＝.
答案：A
2．解析：lg＋lg＝lg(·)＝lg 10＝1.
答案：1
3．解析：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210＝，
b＝log510＝，
∴＋＝lg 2＋lg 5＝1.
答案：1
4．解析：(1)原式＝lg－lg 4＋lg7＝lg＝lg(×)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋2lg 2lg 5＋(lg 5)2＋(lg 2)2＝
2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

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