资源简介

4.4.1　对数函数导学案
【学习目标】
1. 理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的性质．
3．了解对数函数的简单应用.
【学习重难点】
重点：对数函数的概念、图象及性质．
难点：利用对数函数性质解题
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P130～133，思考并完成以下问题
(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？
预习任务二：简单题型通关
1．y＝lg(x－2)的定义域是________．
2．y＝log2x的图象与y＝logx的图象关于________对称．
3．y＝logax＋1的图象过定点________．
4．已知对数函数过点(4,2)，则f(x)的解析式为________．
二、新知精讲
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数定义域是(0，＋∞)．
[点睛]　形如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．对数函数的图象及性质
a的范围 0＜a＜1 a＞1
图　象
a的范围 0＜a＜1 a＞1
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
[点睛]　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
三、题型探究
[例1]　指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；　　 　　(2)y＝log6x；
(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.
[归纳总结]
判断一个函数是对数函数的方法
[活学活用]
1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
[例2]　求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5；
(3)y＝； (4)y＝ .
[归纳总结]
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
[活学活用]
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝lg(x＋1)＋；
(2)y＝logx－2(5－x)．
题点一：对数型函数图象的判断
1．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
题点二：作对数型函数的图象
2．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
题点三：对数型函数图象的数据分析
3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1　　　　 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
[归纳总结]
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
四、易错误区
忽略对数函数的定义域而出错
[典例]　设函数y＝f(x)，且lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的表达式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
[易错警示]
错误原因 纠错心得
错解中没有考虑所给式子成立的条件，所求函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号所得的解析式去确定函数的定义域. 在解有关对数函数的关系式的问题时，要注意对数函数定义域的限制，否则将导致解集扩大，出现错误.
五、达标检测
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝ln x　　　　　　　　 B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
2．已知函数y＝f(x)定义域为[2,4]，则y＝f(log2x)的定义域为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　 B．[1,2]
C．[2,4] D．[4,16]
3．函数y＝log2x在[1,2]上的值域是________．
4．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．
五、本课小结
1、怎样判断一个函数是对数函数？
2、对数函数具有哪些性质？
3、求对数型函数定义域的原则。
参考答案
课前预习
1．答案：(2，＋∞)
2．答案：x轴
3．答案：(1,1)
4．答案：y＝log2x
题型探究
[例1]　[解]　(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．
[活学活用]
1．解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
答案：1
[例2]　[解]　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．
(3)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域是{x|x<4，且x≠3}．
(4)要使函数式有意义，需解得＜x≤1，所以函数y＝的定义域是.
[活学活用]
2．解析：(1)要使函数式有意义，需∴
∴－1＜x＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)．
(2)要使函数式有意义，需∴
∴2＜x＜5，且x≠3.
∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5).
题点一：对数型函数图象的判断
1．解析：选C　y＝a－x＝x，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.
题点二：作对数型函数的图象
2．解析：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
题点三：对数型函数图象的数据分析
3．解析：选B　作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
易错误区
[错解]　(1)因为lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)，
所以lg(lg y)＝lg[3x·(3－x)]，
即lg y＝3x(3－x)，
所以f(x)＝103x(3－x)＝10 (x∈R)．
(2)令u＝3x·(3－x)＝－32＋≤，
则函数f(x)＝10－3x2＋9x的值域为(0,10]．
[正解]　(1)由题设知即
因为lg(lg y)＝lg 3x＋lg(3－x)，
所以lg(lg y)＝lg[3x·(3－x)]，
即lg y＝3x·(3－x)，
所以f(x)＝103x(3－x)＝10，其中0＜x＜3，
即定义域为(0,3)．
(2)令u＝－3x2＋9x＝－32＋，0＜x＜3.
因为0＜－3x2＋9x≤，所以1＜y≤10，
所以f(x)的值域为(1,10]．
达标检测
1．答案：A
2．解析：因为函数y＝f(x)定义域为[2,4]，所以2≤log2x≤4，所以4≤x≤16.
答案：D
3．解析：y＝log2x是增函数，
∴log21≤log2x≤log22，
∴0≤y≤1，
∴y＝log2x在[1,2]上的值域为[0,1]．
答案：[0,1]
4．解析：由x＋2＝1得x＝－1，
∴f(－1)＝loga(－1＋2)＋3＝3，
∴函数图象恒过定点(－1,3)．
答案：(－1,3)

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