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4.4.3　不同函数增长的差异导学案
【学习目标】
1. 了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型。
2. 了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.
【学习重难点】
重点：构建函数模型求解问题．
难点：能根据具体问题选择函数模型
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P136～138，思考并完成以下问题
1．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)在(0，＋∞)上的单调性是怎样的？
2．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝logax(a>1)的增长速度有什么不同？
预习任务二：简单题型通关
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　)
(2)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　)
(3)当a>1，k>0时，对 x∈(0，＋∞)，总有logax2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝2x D．y＝e－x
3. 已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
4. 某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是(　　)
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
二、新知精讲
三种函数模型的性质
y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1)
在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化 趋势 一条直线 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行
增长速度 (1)y＝ax(a＞1)随着x的增大，y增长速度越来越快，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度 (2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax三、题型探究
[例1]　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
[归纳总结]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型
幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
[活学活用]
1．有一组数据如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t　　　　　　　　 B．v＝
C．v＝ D．v＝2t－2
[例2]　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
[归纳总结]
不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．
[活学应用]
2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是(　　)
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
四、易错误区
题意理解不透，列不准函数关系式而致误
[典例]　某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产产值比第一年相应月的产值增长了多少？
[错解]　设第一年某月的生产产值为b，则第二年相应月的生产产值是b(1＋a)11.所以第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了＝(1＋a)11－1.
[正解]　不妨设第一年1月份的生产产值为b，则2月份的生产产值是b(1＋a)，3月份的生产产值是b(1＋a)2，依次类推，到第二年1月份就是第一年1月份后的第12个月，故第二年1月份的生产产值是b(1＋a)12.故第二年某月的生产产值比第一年相应月增长了＝(1＋a)12－1.
[易错警示]
错误原因 纠错心得
对增长率问题的公式y＝N(1＋P)x未理解透彻，而造成指数写错. 在增长率公式y＝N(1＋P)x中，指数x是基数所在时间与所跨过的时间间隔数.
五、达标检测
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)
A．y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6 D．y＝6x
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16； ②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8； ④y＝log2x.　
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
4．已知函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
六、本课小结
1.直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义是什么？
2.不同函数模型的选取标准是什么？
参考答案
课前预习
1. 答案：(1)√　(2)×　(3)×
2. 答案：A
3. 答案：A
4. 解析：选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
题型探究
[例1]　[解析]　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.
[答案]　y2
[活学活用]
1．解析：选C　从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.
[例2]　[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
[活学应用]
2．解析：选C　对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；
对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；
对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；
对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6＜0.7，相差较大，不符合题意.
达标检测
1．解析：选B. D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．解析：选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
3．请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.
答案：④
4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，
g(x)>f(x)，
当x∈(x1，x2)时，
g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．

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