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对数与对数函数
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数发明的过程以及对数对简化运算的作用． 2．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，了解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 1．对数式的化简与求值． 2．对数函数的图象及应用． 3．对数函数的性质及应用． 1．直观想象． 2．数学运算． 3．逻辑推理．
二、本节重难点
1.对数式的化简与求值．
2.对数函数的图象及应用．
3.对数函数的性质及应用
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)函数y＝logax2与函数y＝2logax是相等函数．(　　)
(4)若M>N>0，则logaM>logaN.(　　)
(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.(　　)
2．log29·log34＝(　　)
A． B． C．2 D．4
3．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是(　　)
4．(易错题)函数f(x)＝＋的定义域为________．
5．(易错题)函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
四、考点梳理
1．对数
概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0且a≠1)
运算 法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底 公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
2.对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1，0)
当x>1时，y>0 当01时，y<0 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
3.反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．换底公式的三个重要结论
①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数图象的特点
(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．
(2)函数y＝logax与y＝ (a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
常见误区
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0五、典例剖析
考点一　对数式的化简与求值
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A. B.
C. D.
2．计算：lg－＋lg 7＝________．
3．计算：
(1)÷；
(2).
[方法总结]
[注意]　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．
考点二　对数函数的图象及应用
[例1] (1)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)
(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为____________．
[方法总结]
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[跟踪训练]
函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
考点三　对数函数的性质及应用
角度一　比较对数值的大小
[例2] (2020·高考全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．aC．b[方法总结]
比较对数值的大小的方法
　
角度二　解简单的对数不等式或方程
[例3] (1)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x，则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是________．
(2)设函数f(x)＝，若f(a)[方法总结]
解对数不等式的方法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．
角度三　对数型函数的综合问题
[例4] (1)(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)
A．f(x)在(2，6)上单调递增
B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2，6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
(2)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1，2) B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
[方法总结]
解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
　
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　)
A．[0，2) B．(0，＋∞)
C．(0，2) D．[0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)
3．已知a>0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．
六、随堂训练
1．(多选)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的为(　　)
A．h(x)的图象关于原点对称
B．h(x)的图象关于y轴对称
C．h(x)的最大值为0
D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
3．(2021·贵州教学质量测评改编)已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
4．已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．
5．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
七、本课小结
对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择、填空题为主，属中档题.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．答案：D
解析：原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4××＝4.
3．答案：C
解析：函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C.
4．答案：(－1，0)∪(0，2]
解析：由f(x)＝＋，得得x∈(－1，0)∪(0，2]．
5．答案：2或
解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；
②当0所以a＝2或a＝.
典例剖析
1．答案：B
解析：
方法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
方法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，
所以4－a＝3－2＝＝，故选B.
方法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以＝3，
两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.
方法四：因为alog34＝2，所以a＝＝＝log49，所以4－a＝＝，故选B.
方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3，
因为alog34＝2，所以log3＝2，所以＝32＝9，所以t＝，即4－a＝，故选B.
方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4.
由alog34＝2，得a＝＝＝log49，
所以log4＝log49，所以＝9，t＝，即4－a＝，故选B.
2．答案：
解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋lg 5＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.
3．解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×
＝lg ×10
＝lg 10－2×10
＝－2×10
＝－20.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
[例1] 答案：　(1)B　(2)
解析：(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象大致为选项B.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，
当a>1时不满足条件，
当0画出两个函数在上的图象，
可知，只需两图象在上有交点即可，
则f≥g，
即2≥loga，则a≤，
所以a的取值范围为.
[跟踪训练]
答案：C
解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；
函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.
[例2] 答案：A
解析：因为23<32，所以2<，所以log3252，所以3>，所以log53>log5＝，所以b>c，所以a[例3] 答案：(1)(－1，0)∪(1，＋∞) (2)(－∞，－1)∪(0，1)
解析：(1)由题意知y＝f(x)的图象如图所示，所以满足f(x)>0的x的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．
(2)由f(a)即或，
解得0[例4] 答案：(1)BD　(2)A
解析：(1)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．
令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．
因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，
又f(x)的定义域为(2，6)，
所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，
当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.
(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，
对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，
则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．
[跟踪训练]
1．答案：B
解析：f(x)＝log2(1＋2－x)，因为1＋2－x>1，
所以log2(1＋2－x)>0，所以函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.
2．答案：<
解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，
所以a>1，所以a＋1>2.因为f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)3．答案：
解析：要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，
且y＝ax2－x>0恒成立，
即解得a>.
随堂训练
1．答案：BC
解析：函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，
所以f(x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，
所以A错误，B正确；
根据偶函数性质可知D错误；
因为1－|x|≤1，所以h(x)≤log21＝0，故C正确．
2．答案：
解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，
所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，
所以m＝.
3．答案：　1
解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，
可知定点A的坐标为.
点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.
所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝－1＝2－1＝1.
4．答案：2　(－2，e－2]∪(2，＋∞)
解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，
即函数f(x)＝
当x>1时，y＝ln x＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．
故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．
5．解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，
于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3(2)f(x)是奇函数，理由如下：
因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．
所以f(x)是奇函数．

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