资源简介

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学案
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会利用三角函数模型解决一些简单的实际问题. 1.“五点法”作图及图象变换． 2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式． 3.三角函数图象与性质的综合问题． 1.直观想象． 2.数学建模． 3.数学运算．
二、本节重难点
1.“五点法”作图及图象变换．
2.求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
3.三角函数图象与性质的综合问题
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
2．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
3．(易错题)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝________．
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________．
四、考点梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
常用结论
(1)对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．
(2)相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
五、典例剖析
考点一　五点法作图及图象变换
[例1] 已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【变式探究】
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
2．(变问法)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移________个单位得到y＝f(x)的图象．
[方法总结]
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．
[跟踪训练]
1．函数y＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数是偶函数，则φ的最小正值是(　　)
A. B.
C. D.
2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．则以下结论正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)的图象重合
B.为f(x)图象的一个对称中心
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象
考点二　求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例2] (多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin B．sin
C．cos D．cos
[方法总结]
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝________．
2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________．
考点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的综合应用
角度一　三角函数模型的应用
[例3] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米．
[方法总结]
三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；
(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．
角度二　方程根(函数零点)问题
[例4] 函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
[方法总结]
三角函数的零点(方程根)个数问题可转化为两个函数图象的交点问题．
角度三　三角函数图象与性质的综合问题
[例5] (多选)将函数f(x)＝2sin－1的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期是π
B．函数g(x)的图象关于直线x＝－对称
C．函数g(x)在上单调递减
D．函数g(x)在上的最大值是1
[方法总结]
先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
[跟踪训练]
(多选)已知函数f(x)＝sin，则下列四个命题中正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)＝是x＝的充分不必要条件
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)
六、随堂训练
1．(多选)如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)
A．y＝g(x)是奇函数
B．函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝kπ＋(k∈Z)
C．函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)
D．函数g(x)的单调递减区间为(k∈Z)
2．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．
3．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
4．若f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，且当φ取最小值时， x0∈，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是________．
5．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g＝，求h(α)的值．
七、本课小结
y＝Asin(ωx＋φ)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2．答案：D
解析：因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．
3．答案：A
解析：因为y＝sin＝sin，
所以要得到函数y＝sin的图象，
只需将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度．
4．答案：2sin
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin ＝2sin.
5．答案：2sin
解析：设f(x)的最小正周期为T，
根据题图可知，＝，
所以T＝π，故ω＝2，
根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z，
又|φ|＜，故φ＝－.
所以f(x)＝2sin.
典例剖析
[例1] 解：(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x 0 π
2x＋ π 2π
f(x)＝2sin 1 2 0 －2 0 1
画图如下．
【变式探究】
1．答案：2sin
解析：f(x)的图象向左平移个单位长度后得y＝2sin＝2sin的图象，
再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得g(x)＝2sin的图象，
即g(x)＝2sin.
2．答案：
解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到．
[跟踪训练]
1．答案：A
解析：函数y＝sin向左平移φ个单位长度可得y＝sin，
因为y＝sin是偶函数，
所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，
由k＝0可得φ的最小正值是.
2．答案：BCD
解析：①将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到f(x)＝sin的图象；②将y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再将其图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin的图象．故选项A不正确．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝π－(k∈Z)，令k＝1，则可知选项B正确；
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝－1，则可知选项C正确．
又g(x)＝sin＝sin＝f，所以f(x)的图象向左平移个单位长度可得g(x)的图象，故选项D正确，
故选BCD.
[例2] 答案：BC
解析：由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，所以＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，所以2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin[π－(2x＋)]＝sin，故选项B正确；y＝sin(－2x)＝cos ＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin(－2×＋φ)＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin，但当x＝0时，y＝sin(－2x＋)＝－＜0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.
[跟踪训练]
1．答案：2sin
解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
2．答案：－
解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
[例3] 答案：4
解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，
因为大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，
12秒旋转一周，设∠OO1P＝θ，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T＝12，所以θ＝·2π＝t，
f(t)＝3＋2sin＝3－2cos t(t≥0)，
当t＝40时，f(t)＝3－2cos＝4(米)．
[例4] 答案：(－2，－1)
解：函数y＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个不同的零点，转化为m＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，在x∈上有两个不同的实数根．
设2x＋＝t，则t∈，
所以题目条件可转化为＝sin t，在t∈上有两个不同的实数根．
所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
[例5] 答案：AC
解析：依题意得g(x)＝2sin－1＝2sin－1，函数g(x)的最小正周期T＝＝π，因此选项A正确；
当x＝－时，函数y＝sin没有取得最值，因此函数g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故选项B不正确；
当x∈时，2x＋∈ ，此时函数g(x)单调递减，故选项C正确；
当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此此时函数g(x)没有最大值，选项D不正确．
故选AC.
[跟踪训练]
答案：AD
解析：对于A，由最小正周期T＝＝π知A正确；
对于B，由f(x)＝得2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，可知f(x)＝是x＝的必要不充分条件，B不正确；
对于C，由对于D，y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度得y＝＝|sin 2x|的图象，由y＝|sin x|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)得y＝|sin 2x|的图象的对称轴为直线x＝(k∈Z)，D正确．故选AD.
随堂训练
1．答案：AD
解析：依题意可得A＝2，＝＋＝，故T＝π，T＝＝π，解得ω＝2.
f＝2sin[2×＋φ]＝2sin＝0，
因为0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝2sin.
将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x的图象，函数g(x)＝2sin 2x是奇函数，故A对；
函数g(x)的图象的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)，故B不对；
函数g(x)的图象的对称中心是(k∈Z)，故C不对；
函数g(x)＝2sin 2x的单调递减区间为(k∈Z)，故D对．
选AD.
2．答案：y＝sin
解析：y＝sin xy＝siny＝sin.
3．答案：
解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，
即sin＝sin，
所以－＋φ＝－，则φ＝.
4．答案：(－，2]
解析：因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又φ>0，所以当φ取最小值时，φ＝，f(x)＝2sin.
因为x0∈，所以2x0＋∈，所以－即a的取值范围是(－，2]．
5．解：(1)由已知可得g(x)＝sin，
则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由g＝得sin＝sin＝，
所以sin＝－，即h(α)＝－.

展开更多......

收起↑