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函数的奇偶性及周期性
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1.函数的奇偶性． 2.函数的周期性． 3.函数性质的综合应用． 1.数学抽象． 2.逻辑推理． 3.数学运算．
二、本节重难点
1. 函数的奇偶性．
2. 函数的周期性．
3. 函数性质的综合应用
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
2．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是(　　)
A．－1 B．1
C．－3 D．0
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．
5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝，则f＝________．
四、考点梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，
奇×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
常见误区
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．
3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
五、典例剖析
考点一　函数的奇偶性
角度一　判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；
(2)f(x)＝ln ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[方法总结]
函数具有奇偶性包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．　
角度二　函数奇偶性的应用
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)(2021·黑龙江哈尔滨师范大学附中月考)已知函数f(x)＝cos ＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
[方法总结]
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
3．(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则(　　)
A．f(x)＝ B．g(x)＝
C．f(－2)4．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．
考点二　函数的周期性
[例3] (1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝，其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
[方法总结]
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
[跟踪训练]
1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝，则f(2 023)＝________．
六、随堂训练
1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
2．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最大值为________．
4．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
七、本课小结
本节知识以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性与对称性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
2．答案：B
解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
3．答案：B
解析：因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，
所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.
故选B.
4．答案：－2
解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．答案：1
解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.
典例剖析
[例1]解：(1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为(－2，2)，
f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
[例2] 答案：(1)D　(2)D
解析：(1)通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.
(2) 设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数，
则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，
所以g(－a)＝－g(a)＝－，
即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D.
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：由题知f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，
此时f(x)＝为奇函数．
2．答案：B
解析：因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
所以y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．
3．答案：AD
解析：因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex　①，
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.
联立①②
解得
所以f(－2)＝，f(－3)＝，g(－1)＝<0，
所以g(－1)4．答案：
解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，
因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
[例3] 答案：　(1)C　(2)D
解析：(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，
所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，
所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，
所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，
所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.
又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
[跟踪训练]
1．答案：1
解析：因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
2．答案：6
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.
随堂训练
1．答案：D
解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函数，
所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
2．答案：x2＋x－1
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.
由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.
3．答案：2　
解析：由f(x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f(x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
所以当x＝4时，f(x)max＝.
4．答案：2
解析：
方法一：因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin，
则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
5．解：(1)因为f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝f
＝－f
＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.

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