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函数性质的综合问题
典例剖析
考点一　函数的单调性与奇偶性
[例1] (1)设f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)
A．[－3，3] B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
(2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(b)－f(－a)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)
[方法总结]
函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)[跟踪训练]
1．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
2．已知偶函数f(x)的定义域为(－3，3)，且f(x)在[0，3)上是减函数，f(m－1)－f(3m－1)>0，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，0)∪
C．∪ D．
考点二　函数的周期性与奇偶性
[例2] (1)(2021·河南模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝(　　)
A．6 B．3
C．0 D．－3
(2)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝　(　　)
A． B．
C．π D．
[方法总结]
周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
[跟踪训练]
1．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1，4) B．(－2，1)
C．(－1，2) D．(－1，0)
2．(2021·全国高考冲刺压轴卷(样卷))已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2 019)＋f(2 024)＝(　　)
A．－5 B．5
C．0 D．4 043
考点三　函数的奇偶性、周期性与对称性的综合问题
[例3] (1)若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(1)B．fC．fD．f(2)(多选)(2021·福建高三毕业班质量检查测试)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1，0)对称，下列关于f(x)的结论，正确的是(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0，2)上单调递减
D．f(x)＝cos是满足条件的一个函数
[方法总结]
函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
[跟踪训练]
函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)(　　)
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
随堂训练
1．(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(－5)＝－1，则f(19)＝－1
2．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________，f(g(－2))＝________．
3．设函数f(x)＝＋1在x∈[－9，9]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
4．已知函数f(x)＝则f(2 021)＝________．
5．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．
本课小结
函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．
参考答案
典例剖析
[例1] 答案：(1)B　(2)AC
解析：(1)因为f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，
所以－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在[0，6]上为减函数．
故f(x－1)≥f(3) f(|x－1|)≥f(3) |x－1|≤3，故－2≤x≤4.
(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，
由a>b>0，得f(a)对于A，f(b)－f(－a)0上成立)，所以A正确；
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a) f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)[跟踪训练]
1．答案：B
解析：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.
2．答案：C
解析：因为f(x)为偶函数，且在[0，3)上是减函数，
所以f(x)在(－3，0)上是增函数．
f(m－1)－f(3m－1)>0可化为f(m－1)>f(3m－1)，
因为f(x)为偶函数，所以f(m－1)>f(3m－1)即为f(|m－1|)>f(|3m－1|)．
又f(x)在[0，3)上为减函数，
所以
解得m∈∪，故选C.
[例2] 答案：(1)B　(2)B
解析：(1)根据题意，对任意实数x，恒有f(x＋3)＝－f(x)．
则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，
又由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，
则f(3)＝－f(0)＝0.
又由当x∈时，f(x)＝x2－6x＋8，
得f(1)＝3，f(2)＝f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(1)＝3.
f(4)＝f(1＋3)＝－f(1)＝－3，f(5)＝f(2＋3)＝－f(2)＝－3.
则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，
则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(5)]×336＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝3.故选B.
(2)由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，
则f(x＋2)＝f(x－2)．
所以f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.
[跟踪训练]
1．答案：A
解析：因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，
所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即<1，化简得(a－4)(a＋1)<0，
解得－12．答案：B
解析：由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，
故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．
在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，
因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
故f(8)＝0.故f(2 024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.
又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，
得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，
则f(2 019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，
所以f(2 019)＋f(2 024)＝5.
故选B.
[例3] 答案：(1)B　(2)ABD
解析：(1)因为y＝f(x＋2)是偶函数．所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(1)＝f(3)．
又f(x)在(0，2)上为增函数，
所以f(x)在(2，4)上为减函数，
所以f(2)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，
故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；
可得f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正确；
f(x)＝cos 是定义在R上的偶函数，(1，0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；
f(x)＝－cos 满足题意，但f(x)在(0，2)上单调递增，故C错误．
[跟踪训练]
答案：B
解析：由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，
f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数．
随堂训练
1．答案：BCD
解析：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x)，
则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于D，若f(－5)＝－1，则f(19)＝f(－5＋24)＝f(－5)＝－1，D正确．
2．答案：0　－7
解析：因为f(x)是R上的奇函数 ，所以f(0)＝0，即a＝0，
若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)，
则g(2x)＝－(x2－2x－1)，
令x＝－1，则g(－2)＝－(1＋2－1)＝－2，f(－2)＝－f(2)＝－(4＋4－1)＝－7，
故f(g(－2))＝－7.
3．答案：2
解析：f(x)＝＋1，其中上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，
那么f(x)的最大值与最小值之和就是2×1＝2.
4．答案：1 011
解析：当x>0时，f(x)＝f(x－2)＋1，
则f(2 021)＝f(2 019)＋1＝f(2 017)＋2＝…＝f(1)＋1 010＝f(－1)＋1 011，
而f(－1)＝0，故f(2 021)＝1 011.
5．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

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