资源简介

函数与方程
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系． 2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法． 1.函数零点所在区间的判定． 2.确定函数零点的个数． 3.函数零点的应用． 1.逻辑推理． 2.直观想象． 3.数学运算．
二、本节重难点
1. 函数零点所在区间的判定．
2. 确定函数零点的个数．
3. 函数零点的应用
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)
(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　)
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．和(3，4) D．(4，＋∞)
4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．
5．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若 x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
四、考点梳理
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点 x1，x2 x1 无
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
常见误区
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
五、典例剖析
考点一　函数零点所在区间的判断
[例1] (一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
[方法总结]
判断函数零点所在区间的方法
方法 解读 适合题型
定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 容易判断区间端点值所对应函数值的正负
图象法 画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象
[跟踪训练]
1．已知实数a>1，0A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
考点二　函数零点个数的判断
[例2] (一题多解)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
[方法总结]
判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点三　函数零点的应用
[例3] (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
[方法总结]
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
2．若函数f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为(　　)
A．(0，4) B．(0，＋∞)
C．(3，4) D．(3，＋∞)
六、随堂训练
1．已知函数f(x)＝，则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)
A．(1，2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
2．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
3．函数f(x)＝的零点个数是________．
4．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
5．设函数f(x)＝ (x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
七、本课小结
利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．答案：BD
解析：根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.
函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误．
3．答案：B
解析：易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.
故选B.
4．答案：3
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，
根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，
故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
5．答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1.
典例剖析
[例1] 答案：B
解析：
方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
[跟踪训练]
1．答案：B
解析：因为a>1，0所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
2．答案：D
解析：令f(x)＝0得x＝ln x.
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
[例2] 答案：B
解析：
方法一(方程法)：由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，
所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.
2．答案：B
解析：由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝2>0，
即f(0)·f(1)<0，且函数f(x)在(0，1)内连续不断，
所以f(x)在区间(0，1)内有一个零点．
3．答案：C
解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象．
如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C.
[例3] 答案：(1)D　(2)[－1，＋∞)
解析：(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，
即a＝x＋在上有解，
设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，
即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，
即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，
作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，
如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，
所以即
解得02．答案：C
解析：令g(x)＝|2x－4|，其图象如图所示，
若f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a∈(3，4)．
随堂训练
1．答案：D
解析：当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；
当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，
即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．
故选D.
2．答案：－
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
3．答案：3
解析：当x>0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，
由图知，当x>0时，f(x)有2个零点；
当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.
综上，f(x)有3个零点．
4．答案：(0，1]
解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．
令f(x)＝0，得a＝2x.
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是(0，1]．
5．解：(1)如图所示．
(2)由函数f(x)的图象可知，当0

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