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任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化． 2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1.象限角及终边相同的角． 2.扇形的弧长及面积公式的应用． 3.三角函数的定义及应用． 1.数学抽象． 2.直观想象． 3.数学运算．
二、本节重难点
1.象限角及终边相同的角．
2.扇形的弧长及面积公式的应用．
3.三角函数的定义及应用
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(5)若α∈，则tan α＞sin α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
2．(多选)下列与角的终边相同的角是(　　)
A. B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.
5．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．
四、考点梳理
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
按旋转 方向 正角 按逆时针方向旋转而成的角
负角 按顺时针方向旋转而成的角
零角 射线没有旋转
按终边 位置 前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限 角 角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他 角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝
角度与弧度的换算 1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式 l＝α·r
扇形面积公式 S＝l·r＝α·r2
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ 正 正 正
Ⅱ 正 负 负
Ⅲ 负 负 正
Ⅳ 负 正 负
口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦
常用结论
1．象限角
2．轴线角
3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
常见误区
1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等．
2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．
3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．
4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
五、典例剖析
考点一　象限角及终边相同的角
1．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
3．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
[方法总结]
(1)象限角的2种判断方法
图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
(2)求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤
①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；
②两边同除以n或乘以n；
③对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．　
[注意]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
考点二　扇形的弧长及面积公式
[例1] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[方法总结]
弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
[提醒]　运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．
[跟踪训练]
1．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列选项正确的有(　　)
A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
考点三　三角函数的定义
角度一　利用三角函数的定义求值
[例2] (1)已知点M在函数y＝log3x的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M，则tan θ＝(　　)
A．－ B．± C．－3 D．±3
(2)若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．
[方法总结]
三角函数定义问题的解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
角度二　判断三角函数值的符号
[例3] (2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α>0 B．cos 2α<0
C．sin 2α>0 D．sin 2α<0
[方法总结]
三角函数值符号的判断方法
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．
[跟踪训练]
1．下列各选项中正确的是(　　)
A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0
C．tan>0 D．sin 10<0
2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(－4，a)，且sin β cos β＝，则a的值为(　　)
A．4 B．±4
C．－4或－ D．
3．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________．
六、随堂训练
1．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)
A. B.
C. D.
2．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
3．函数y＝的定义域为________．
4．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．
5．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)是第几象限角？(3)2α是第几象限角？
七、本课小结
本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
2．答案：AC
解析：与角的终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，k＝2时，4π＋＝π.
3．答案：C
解析：由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.
4．答案：
解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为 rad.
5．答案：
解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，
所以r＝|OP|＝5.
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
所以2sin α＋tan α＝2×＋＝.
典例剖析
1．答案：A
解析：因为－＝－2π－，所以－与－是终边相同的角，且此时＝是最小的．
2．答案：C
解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
3．答案：AC
解析：因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α则有k·180°<α故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α4．答案：－675°和－315°
解析：所有与45°终边相同的角可表示为
β＝45°＋k×360°(k∈Z)．
令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，
解得－≤k<－(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，
代入得β＝－675°和β＝－315°.
[例1]解：(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0所以扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.
[跟踪训练]
1．答案：ABC
解析：设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，
则由题意得解得或
可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.
2．答案：
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，
所以α＝.
所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
[例2] 答案：(1)C　(2)－
解析：(1)因为点M在函数y＝log3x的图象上，所以a＝log3＝－1，即M，所以tan θ＝＝－3.
(2)由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，则cos αcos β＝－.
[例3] 答案：D
解析：
通解：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.
优解：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D.
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－＝－8π＋，则－是第二象限角，故tan<0；3π<10<，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D.
2．答案：C
解析：因为点P(－4，a)在角β的终边上且sin βcos β＝，所以＝.
解得a＝－4或a＝－.故选C.
3．解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．
当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；
当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋
六、随堂训练
1．答案：D
解析：由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x2．答案：
解析：设扇形半径为r，弧长为l，
则解得
3．答案：(k∈Z)
解析：因为2sin x－1≥0，所以sin x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．
所以x∈(k∈Z)．
4．答案：
解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，
所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.
5．解：(1)因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
所以－2kπ－<π－α<－2kπ，k∈Z.
所以π－α是第四象限角．
(2)因为kπ＋<所以是第二或第四象限角．
(3)因为4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z，
所以2α是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角．

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