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三角函数的图象与性质(2)
典例剖析
考点一　三角函数的周期性与奇偶性
[例1] (1)(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
(2)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
[方法总结]
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．
[跟踪训练]
1．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan
2．设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
考点二　三角函数的奇偶性、对称性
[例2] (多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
[方法总结]
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
[跟踪训练]
1．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
2．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
考点三　三角函数的图象与性质的综合问题
[例3] 已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
[方法总结]
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
[跟踪训练]
1．当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f是(　　)
A．奇函数且图象关于直线x＝对称
B．偶函数且图象关于直线x＝对称
C．奇函数且图象关于点对称
D．偶函数且图象关于点对称
2．函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，且图象关于直线x＝－π对称，则ω的值为________．
随堂训练
1．(多选)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则ω＝________．
3．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题是________．(填序号)
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝2，f(π)＝0，且f(x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个．
5．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
本课小结
本节知识以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
参考答案
典例剖析
[例1] 答案：(1)ABC　(2)A
解析：(1)由题意，可得f(x)＝－cos x，
对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cos x在上是减函数，所以函数f(x)在区间上是增函数，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由＝π得ω＝2.
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，
所以θ＝＋kπ，k∈Z.
又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.
[跟踪训练]
1．答案：ABC
解析：A项，y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
B项，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
C项，y＝cos的最小正周期T＝＝π；
D项，y＝tan的最小正周期T＝.
2．答案：A
解析：f(x)＝sin，
因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，
所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．
因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝－cos 2x，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
故选A.
[例2] 答案：BD
解析：由题意，知f(x)的最小正周期T＝2×＝，
所以ω＝＝4，所以f(x)＝sin(4x＋φ)，
此时函数图象平移后所得图象对应的函数为y＝sin＝sin，
当函数y＝sin的图象关于y轴对称时，
必有＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，
结合|φ|＜，得φ＝－，
所以由4x－＝nπ(n∈Z)，得x＝＋(n∈Z)，
当n＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象的一个对称中心为，
由4x－＝mπ＋(m∈Z)，得x＝＋(m∈Z)，
当m＝0时，x＝，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
故选BD.
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；
y＝cos＝sin 2x在上为减函数，排除B；
y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，符合题意；
y＝sin＝cos x为偶函数，排除D.
故选C.
2．答案：ACD
解析：因为f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
所以函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.
因为f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
因为y＝cos 2x在上单调递减，
所以f(x)＝－cos 2x在上单调递增．
故选ACD.
[例3] 解：(1)由题意，得
f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：因为当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，
所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)＝Asin(A>0)，所以y＝f＝Asin＝－Acos x，
所以函数y＝f为偶函数且图象关于点对称，
故选D.
2．答案：
解析：因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，
所以，得0＜ω≤.
又函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象关于直线x＝－π对称，
所以－π·ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝－k－(k∈Z)，
又0＜ω≤，所以ω＝.
随堂训练
1．答案：CD
解析：因为f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋＝＋sin 2x＋＝sin＋1，
所以函数f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故A，B不正确；
由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝1时x＝，
所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；
由2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时x＝，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．
故选CD.
2．答案：
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，
可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝.
3．答案：③④
解析：f(x)＝sin 2x，
当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，所以①是假命题；
f(x)的最小正周期为π，所以②是假命题；
当x∈时，2x∈，所以③是真命题；
因为f＝sin ＝－，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，所以④是真命题．
4．答案：9
解析：设函数f(x)的最小正周期为T，
由f＝2，f(π)＝0，
结合正弦函数图象的特征可知＋＝，k∈N，
故T＝，k∈N；
又因为f(x)在区间上单调，
所以－≤，故T≥，
所以ω＝≤12，即≤12，
所以k≤，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．
5．解：因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin
＝cos＋1＋2sinsin
＝cos＋2sincos＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1
＝sin 2x－cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.

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