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三角恒等变换(1)
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、余弦、正切公式． 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式． 2.简单的三角恒等变换． 1.逻辑推理． 2.数学运算． 3.数据分析．
二、本节重难点
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式．
2.简单的三角恒等变换
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
2．(多选)下面各式中，正确的是(　　)
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋sin sin
D．cos ＝cos －cos
3．已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．若sin x＝－，则cos 2x＝____________．
5．(易错题)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________．
四、考点梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
cos(α β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
(4)辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
常见误区
(1)明确二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍．
(2)解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
(3)运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．
(4)在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．
五、典例剖析
考点一　和差公式的直接应用
1．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A. B. C. D.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
3．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
[方法总结]
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．　
考点二 三角函数公式的逆用与变形应用
[例1] (1)(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A.
B．cos2－sin2
C．cos 42°sin 78°＋sin 42°cos 78°
D.
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
[方法总结]
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
[跟踪训练]
1．已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A. B. C. D.
2．sin2＋sin2－sin2α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
考点三 三角公式的灵活应用
角度一　三角函数公式中变“角”
[例2] (1)(多选)若tan＝2，则(　　)
A．tan α＝ B．tan α＝
C．tan 2α＝ D．tan 2α＝
(2)已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos 2α＝________．
[方法总结]
(1)三角公式求值中变角的解题思路
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
角度二　三角函数公式中变“名”
[例3] 求值：－sin 10°.
[方法总结]
三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[跟踪训练]
1．求4sin 20°＋tan 20°的值为________．
2．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________．
六、随堂训练
1．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
2．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．
3．已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．
4．若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．
5．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
参考答案
课前自测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．答案：ABC
解析：因为sin＝sin cos ＋cos ·sin ＝sin cos ＋cos ，所以A正确；
因为cos ＝－cos＝－cos＝sin sin－cos cos ，所以B正确；
因为cos＝cos＝cos cos ＋sin ·sin ，所以C正确；
因为cos ＝cos≠cos －cos ，所以D不正确．故选ABC.
3．答案：D
解析：由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.
4．答案：
解析：因为sin x＝－，所以由二倍角公式，得cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×＝.
5．答案：－
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，
所以sin＝－×＋×＝－.
典例剖析
1．答案：A
解析：因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
所以6cos2α－8cos α－8＝0，
所以3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－，
因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝.故选A.
2．答案：A
解析：因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
3．解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
故sin＝sin cos α＋cos sin α＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－.
[例1] 答案：(1)BC　(2)B
解析：(1)因为＝＝cos 60°＝；
cos2－sin2＝cos ＝；
cos 42°sin 78°＋sin 42°cos 78°＝sin(78°＋42°)＝sin 120°＝；
＝tan 30°＝.
所以值为的是BC.
故选BC.
(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
[跟踪训练]
1．答案：B
解析：因为sin θ＋sin ＝sin θ＋cos θ＝sin ＝1，
所以sin ＝，故选B.
2．答案：C
解析：原式＝＋－sin2α
＝1－·[cos＋cos]－sin2α
＝1－cos 2αcos －sin2α
＝1－－
＝.
[例2] 答案：(1)BD　(2)－
解析：(1)tan α＝tan＝＝＝，
tan 2α＝＝.
故选BD.
(2)因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<，
又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.
[例3]解：原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝＝＝.
[跟踪训练]
1．答案：
解析：原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.
2．答案：
解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.
又因为＝2，
所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，
所以tan(α＋β)＝.
随堂训练
1．答案：A
解析：因为α，β都是锐角，且cos α＝<，
所以<α<，sin α＝＝，
又sin(α＋β)＝<，
所以<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－＝－.
cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝，故选A.
2．答案：－
解析：由已知得cos α＝，又α∈，所以sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
3．答案：
解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，
所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
4．答案：－1　
解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝
＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)
＝＝＝.
5．解：因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝＝.
且＝，即cos α＝2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1.
又α∈，所以sin α＝，cos α＝.
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝－.

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