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三角恒等变换(2)
典例剖析
考点一　角函数式的化简
[例1] 化简：(1)－2cos(α＋β)；
(2)·.
[方法总结]
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
　
[跟踪训练]
1.·等于(　　)
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
2．(一题多解)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
考点二　三角函数式的求值
角度一　给角求值
[例2] 计算＝________．
[方法总结]
给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．
[基本思路]　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：
角度二　给值求值
[例3] (1)已知sin α＋cos α＝，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
[方法总结]
给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．　
角度三　给值求角
[例4] (一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为________．
[方法总结]
给值求角的原则
已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
[跟踪训练]
1．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．70°
C．20° D．10°
3．已知tan＝，且－＜α＜0，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D.
随堂训练
1．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有一点A，终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，满足|OA|＝|OB|，若∠OAB＝θ，则＝(　　)
A． B．2
C．4 D．1
2．已知cos－sin α＝，则sin＝________．
3．化简：·＝________．
4．已知α，β为锐角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，则α＋β＝________．
5．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
本课小结
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择题、填空题、解答题均有可能出现，中低档难度.
参考答案
典例剖析
[例1] 解：(1)原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
[跟踪训练]
1.答案：D
解析：原式＝＝＝cos α.
2．解：
方法一(从“角”入手，化复角为单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
方法二(从“名”入手，化异名为同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β＝.
[例2] 答案：　2
解析：
＝
＝
＝
＝＝2.
[例3] 答案：(1)C　(2)A
解析：(1)由sin α＋cos α＝，得2cos＝，
即cos＝，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
故选C.
(2)由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.
又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，
所以sin α≤0，tan α＝－3，所以sin α＝－，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝－，故选A.
[例4] 答案：
解析：
方法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.
又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.
因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
方法二：同方法一得，cos β＝，sin α＝.
因为α，β为锐角，所以α－β∈.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，
故cos(α－β)＝＝＝.
又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以2α－β＝.
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：tan＝＝，所以tan α＝－，
又α为第二象限角，所以cos α＝－，
所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，
故选D.
2．答案：B
解析：由题意可知sin 40°＞0，1＋cos 40°＞0，
OP的斜率tan α＝＝＝tan 70°，
由α为锐角，可知α为70°.
故选B.
3．答案：A
解析：因为tan＝＝，所以tan α＝－，
因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，α∈，
所以sin α＝－.
所以＝
＝＝2sin α＝2×
＝－.
故选A.
随堂训练
1．答案：D
解析：因为α的终边上有一点B(－m，2m)(m＞0)，所以tan α＝－2.
由三角形内角和定理得α＋2θ＝π，
所以tan 2θ＝tan(π－α)＝－tan α＝2，即＝2，整理得tan θ＋tan2θ＝1，
所以＝＝tan θ＋tan2θ＝1.
故选D.
2．答案：－
解析：由cos－sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝＝cos＝sin＝，得sin＝.sin＝－sin＝－sin＝－.
3．答案：－4
解析：原式＝·
＝·
＝－4tan(45°＋15°)
＝－4.
4．答案：
解析：因为(1－tan α)(1－tan β)＝4，
所以1－(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
即－(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β，
则tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，
则tan(α＋β)＝＝＝－.
因为α，β为锐角，所以0＜α＋β＜π，则α＋β＝.
5．解：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α∈，β∈，
所以<α＋β<，
所以α＋β＝.

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