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指数与指数函数
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义． 2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数函数的概念和意义，能借助计算工具或描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 1.指数幂的化简与求值． 2.指数函数的图象及应用． 3.指数函数的性质及应用． 1.直观想象． 2.数学运算． 3.逻辑推理．
二、本节重难点
1.指数幂的化简与求值．
2.指数函数的图象及应用．
3.指数函数的性质及应用.
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) ＝＝a.(　　)
(2) ＝＝.(　　)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)
(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)
(6)若am0，且a≠1)，则m2．化简 (x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
3．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．
4．(易错题)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________．
5．(易错题)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则实数a的值为________．
四、考点梳理
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax(a>0且a≠1) a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)
当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
在R上是增函数 在R上是减函数
常用结论
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．
常见误区
解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0五、典例剖析
考点一　指数幂的化简与求值
1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝
2．计算：－＋＋(0.002) ＝________．
3．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．
4．化简下列各式：
(1)[()－2.5]－ －π0；
(2)·b－2·(－3b－1)÷.
[方法总结]
[注意]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　
考点二　指数函数的图象及应用
[例1] (1)已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　)
(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
【变式探究】
1．(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．
2．(变条件)若本例(2)的条件变为：若函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．
[方法总结]
指数函数图象问题的求解策略
变换 作图 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解
数形 结合 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．02．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．
考点三　指数函数的性质及应用
角度一　比较指数幂的大小
[例2] (2021·福建质量检测)已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则　(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
[方法总结]
比较指数幂大小的常用方法
一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．
二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．
三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．　
角度二　解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　)
A． B．
C． D．[2，＋∞)
(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
[方法总结]
解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
角度三　研究指数型函数的性质
[例4] (1)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
[方法总结]
求指数型复合函数的单调区间和值域的方法
(1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．
(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：
当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n) D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；
当0[跟踪训练]
1．若函数f(x)＝a|x＋1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是(　　)
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)2．若函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
3．定义：区间[x1，x2](x1A. B．1
C. D．2
六、随堂训练
1．当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，) B．
C．∪(1，) D．(0，1)∪(1，)
2．计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________．
3．函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________．
5．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(0，－2)，(2，0)．
(1)求a与b的值；
(2)求x∈[－2，4]时，f(x)的最大值与最小值．
七、本课小结
在指数函数中，比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择、填空题，中档难度.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
2．答案：D
解析：因为x<0，y<0，
所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
3．答案：C
解析：根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C.
4．答案：
解析：由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.
5．答案：或
解析：当0所以a＝或a＝0(舍去)．
当a>1时，a2－a＝，
所以a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
典例剖析
1．答案：D
解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；
对于B，2a－3＝，故B错误；
对于C，(－2)0＝1，故C错误；
对于D，(a－)4＝.
2．答案：10
解析：原式＝－＋＋
＝－＋＋10＝10.
3．答案：7
解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，
所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.
所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.
4．解：(1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1
＝－－1
＝0.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(a·b)
＝－a·b
＝－·
＝－.
[例1] 答案：(1)A　(2)(－∞，0]
解析：(1)y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．
【变式探究】
1．答案：{0}∪[1，＋∞)
解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，
故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．
2．答案：(－∞，－1]
解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．
由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以02．答案：
解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜；
(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．
所以0＜a＜.
[例2] 答案：D
解析：方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得ab，故选D.
方法二：因为＝0.3<1，且＝<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D.
[例3] 答案：　(1)B　(2)
解析：(1)因为2 x2＋1≤＝24－2x，
则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，
所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.
(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，不成立应舍去．故a的值为.
[例4] 答案：(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]
解析：(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，
所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．
又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．
(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
[跟踪训练]
1．答案：A
解析：由题意知a>1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．
2．答案：B
解析：将原函数看成复合函数f(x)＝，u＝|x－2|，
f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，
由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
3．答案：B
解析：如图是函数y＝2|x|值域为[1，2]上的图象，使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的区间长度最小的区间为[－1，0]，[0，1]，区间长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.
随堂训练
1．答案：C
解析：x∈[－2，2]时，ax<2(a>0且a≠1)．
若a>1，y＝ax是增函数，
则有a2<2，可得a<，故有1若0则有a－2<2，可得a>，故有综上所述，a∈∪(1，)．
2．答案：100
解析：原式＝＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋
＝100.
3．答案：(0，1)
解析：因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，
所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．
令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得
故ab∈(0，1)．
4．答案：[－3，0)
解析：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，
当a≤x<0时，f(x)∈，
所以[－8，1]，
即－8≤－<－1，即－3≤a<0.
所以实数a的取值范围是[－3，0)．
5．解：(1)因为点(0，－2)，(2，0)在函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象上，
所以所以
又a＝－不符合题意，所以
(2)由(1)可得f(x)＝()x－3.因为>1，
所以y＝()x在其定义域上是增函数，
所以f(x)＝()x－3在区间[－2，4]上单调递增．
所以f(x)在区间[－2，4]上的最小值为f(－2)＝－，最大值为f(4)＝6.

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