资源简介

充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定 1.充分条件与必要条件的判定． 2.充分条件、必要条件的探求应用． 3.全称命题与特称命题 1.逻辑推理 2.数学抽象
二、本节重难点
1．与函数、不等式、向量、三角等知识相结合考查四种命题的关系及真假判断，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数、不等式、解析几何等知识相结合考查充分条件与必要条件的判断及应用，凸显逻辑推理的核心素养．
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)
(4) x0∈M，p(x0)与 x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)
2．(多选)下列命题的否定是全称命题且为真命题的有(　　)
A． x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C． x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．(易错题)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是___________________．
5．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件．
四、考点梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
[注意]　不能将“若p，则q”与“p q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”，即“p q” “若p，则q”为真命题．
2．全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
(2)全称命题和特称命题
名称 形式　　 全称命题 特称命题
语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 M中存在元素x0，使p(x0)成立
符号表示 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
3．全称命题与特称命题的否定
[提醒]　对没有量词的命题要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
常用结论
集合与充要条件
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B.
(1)p是q的充分不必要条件 AB；
(2)p是q的必要不充分条件 AB；
(3)p是q的充要条件 A＝B.
常见误区
1．命题的条件与结论不明确致误；
2．含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误；
3．对充分必要条件判断不明致误．
五、典例剖析
考点一　全称命题与特称命题
1．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，ex＞0 B． x∈N，x2＞0
C． x0∈R，ln x0＜1 D． x0∈N*，sin x0＝1
2．(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p： x∈(0，＋∞)，，则﹁p为(　　)
A． x0∈(0，＋∞)，
B． x∈(0，＋∞)，
C． x0∈(－∞，0)，
D． x∈(－∞，0)，
3．(多选)(2021·海南海口第四中学期中)下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法正确的是(　　)
A． x∈R，y＝(x－2)2－1≥1
B． a>－1， x0∈R，y＝(x0－2)2－1C． a<－1， x0∈R，y＝(x0－2)2－1＝a
D． x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1
4．(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“ t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是____________．
[方法总结]
全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称命题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象 使命题为假 否定为真
特称命题 真 存在一个对象 使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为假 否定为真
[注意]　因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
考点二　充分条件、必要条件的判断
[例1] (1)(2021·山东烟台一模)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[方法总结]
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
[跟踪训练]
1．(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点三 充分条件、必要条件的探求及应用
[例2]已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．
【变式探究】
1．(变问法)本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围．
2．(变问法)本例条件不变，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？
[方法总结]
利用充要条件求参数的关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
[跟踪训练]
1．命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥9 B．a≤9
C．a≥10 D．a≤10
2．(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
六、随堂训练
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件
B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30
C．命题“ x0∈R，x0＋≥2”的否定是“ x∈R，x＋>2”
D．函数y＝sin x＋cos x－无零点
2．若命题p的否定是“ x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为____________________．
3．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
4．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
5．已知集合A＝{x|a－2七、本课小结
含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度．
参考答案
课前自测
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．答案：AC
解析：由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；
又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.
3．答案：C
解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
4．答案：存在两个全等三角形的面积不相等
5．答案：充要
解析：当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件．
典例剖析
考点一　全称命题与特称命题
1．答案：B
解析：对于B. 当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．
2．答案：A
解析：由全称命题的否定为特称命题知，﹁p为 x0∈(0，＋∞)，，故选A.
3．答案：BD
解析：对于二次函数y＝(x－2)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1，所以 x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，所以A项错误；B项， a>－1， x0∈R，y＝(x0－2)2－14．答案：(－∞，－1]
解析：因为命题“ t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“ t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.
考点二　充分条件、必要条件的判断
[例1] 答案：(1)A　(2)B
解析：(1)解不等式|x－2|<1，即－1解x2＋2x－3>0即(x－1)(x＋3)>0，得x<－3或x>1.
记P＝{x|11}．
显然PQ，所以“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的充分不必要条件．故选A.
(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.
[跟踪训练]
1．答案：A
解析：由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.
2．答案：B
解析：因为a，b为非零向量，a·b>0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b>0成立．故“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.
考点三 充分条件、必要条件的探求及应用
[例2]解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由p是q的必要条件，知S P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【变式探究】
1．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，所以P S，所以可以得到解得m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)．
2．解：不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以所以故满足题意的m不存在．
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：命题 x∈[1，3]，x2－a≤0 x∈[1，3]，x2≤a 9≤a.则“a≥10”是命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.
2．答案：ac<0
解析：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是
即ac<0.
随堂训练
1．答案：AB
解析：由x＝，得tan x＝1，但有tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件，所以A是正确的；若定义在[a，b]上的函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函数，则得则f(x)＝x2＋5，在[－5，5]上的最大值为30，所以B是正确的；命题“ x0∈R，x0＋≥2”的否定是“ x∈R，x＋<2”，所以C是错误的；当x＝时，y＝sin x＋cos x－＝0，故D是错误的．
2．答案： x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
3．答案：充要
解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为04．解：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以AB，所以a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．
(2)因为p是q的必要不充分条件，
所以BA，所以a<2.所以a的取值范围是(－∞，2)．
5．解：A∩B＝ 0≤a≤2.
所以A∩B＝ 的充要条件是0≤a≤2.

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