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函数的单调性与最值
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 1．确定函数的单调性(区间)． 2．函数单调性的应用． 3．函数的值域(最值)． 1．数学抽象． 2．逻辑推理． 3．数学运算．
二、本节重难点
1.确定函数的单调性(区间)．
2.函数单调性的应用．
3.函数的值域(最值)
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(4)所有的单调函数都有最值．(　　)
(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．(　　)
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex
3．(易错题)已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．
5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．
四、考点梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1) >0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增．
(2) <0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
常见误区
1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．
2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
五、典例剖析
考点一　确定函数的单调性(区间)
角度一　判断或证明函数的单调性
[例1] 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1，1)上的单调性．
[方法总结]
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
[注意]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度二　求函数的单调区间
[例2] 求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【变式探究】　(变条件)若本例函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
[方法总结]
确定函数的单调区间的方法
[跟踪训练]
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是(　　)
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
2．(多选)下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
3．若函数f(x)＝，在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　)
A. B．[1，2]
C. D.
考点二 函数的最值(值域)
[例3] (1)函数y＝的值域是________．
(2)函数y＝x＋的最小值为________．
(3)(2020·福建漳州质检)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的取值范围是________．
[方法总结]
求函数最值的五种常用方法
[跟踪训练]
1．已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是(　　)
A．y＝4x＋ B．y＝x＋
C．y＝－x2＋2x＋3 D．y＝5－
2．(2020·深圳模拟)函数y＝的最大值为________．
考点三 函数单调性的应用
角度一　比较函数值的大小
[例4] 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
[方法总结]
利用函数的单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．
角度二　解函数不等式
[例5] 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
[方法总结]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．
角度三　求参数的值(范围)
[例6] 已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
[方法总结]
利用单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
[注意]　求分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
2．函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－2]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
六、随堂训练
1．(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)　
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
3．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
4．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)5．求下列函数的值域．
(1)f(x)＝，
(2)y＝x－.
七、本课小结
本节知识以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．答案：A
解析：对于A，y1＝在区间(0，＋∞)上是减函数，y2＝x在区间(0，＋∞)上是增函数，则y＝－x在区间(0，＋∞)上是减函数；
B，C选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；
选项D中，y＝ex在区间(0，＋∞)上是增函数．
3．答案：B
解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，
所以函数t在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．
4．答案：2　
解析：可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上为减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
5．答案：
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
典例剖析
[例1]解：设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，因为－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)[例2] 解：f(x)＝＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．
【变式探究】
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为[1－，1]和[1＋，＋∞)；
单调递减区间为(－∞，1－]和[1，1＋]．
[跟踪训练]
1．答案：B
解析：y＝|x|(1－x)＝
＝
＝
画出函数的草图，如图．
由图易知原函数在上单调递增．
2．答案：ABC
解析：由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在 (0，＋∞)上是增函数．
对于A项，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以A项符合题意；
对于B项，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以B项符合题意；
对于C项，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以C项符合题意；
对于D项，y＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故选ABC.
3．答案：B
解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，
根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2，
即实数b的取值范围是[1，2]．
[例3]解析：(1)(分离常数法)
因为y＝＝－1＋，又因为1＋x2≥1，
所以0<≤2，所以－1<－1＋≤1，
所以函数y的值域为(－1，1]．
(2)方法一(换元法)：
令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，
所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.
配方得y＝＋，
又因为t≥0，所以y≥＋＝1，
故函数y＝x＋的最小值为1.
方法二(单调性法)：
因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，所以ymin＝1.
(3)(基本不等式法)
由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；
当x≤0时，f(x)＝2x＋a∈(a，1＋a]，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4.
答案：(1)(－1，1]　(2)1　(3)[4，＋∞)
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：易知函数y＝4x＋在[1，5]上单调递增，所以4x＋≥5，A不符合题意；
因为x≥1，所以y＝x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；
y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意；
因为函数y＝5－在(0，＋∞)上单调递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5－＝4，符合题意．故选D.
2．答案：
解析：令 ＝t，则t≥2，
所以x2＝t2－4，所以y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
所以h(t)min＝h(2)＝，所以y≤＝(x＝0时取等号)．即y最大值为.
[例4] 答案：D
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.
当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
[例5] 答案：(－，－2)∪(2，)
解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，
所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)[例6] 答案：C
解析：由f(x)是减函数，得
解得≤a<，所以实数a的取值范围是.
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)所以0≤2x－1<，解得≤x<.
故选D.
2．答案：B
解析：因为函数y＝|2x－a|的单调增区间是，
且函数y＝|2x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，
所以[－1，＋∞) ，所以≤－1，解得a≤－2.
故选B.
随堂训练
1．答案：CD
解析：根据题意，依次分析选项：
对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；
对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；
对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；
对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
2．答案：[1，2]
解析：由于f(x)＝|x－2|x＝，
结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．
3．答案：
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综上，实数a的取值范围是.
4．答案：
解析：因为f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)所以解得05．解：(1)当x<1时，x2－x＋1＝＋≥；当x>1时，0<<1.因此函数f(x)的值域是(0，＋∞)．
(2)y＝x－＝－≥－，所以函数y的值域为.

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