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基本不等式
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.探索并了解基本不等式的证明过程 2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 1.利用基本不等式求最值 2.基本不等式的实际应用 1.数学运算 2.逻辑推理
二、本节重难点
1．结合作差法，了解基本不等式的证明过程，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养．
3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养．
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
2．(易错题)若x<0，则x＋(　　)
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
4．设05．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
四、考点梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
常见误区
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；
2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
五、典例剖析
考点一 利用基本不等式求最值
技法一　配凑法求最值
[例1] (1)(2021·宿州模拟)已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝(　　)
A．9 B．7
C．5 D．3
(2)已知0[方法总结]
通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
技法二　常数代换法求最值
[例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【变式探究】
1．(变问法)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________．
2．(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________．
[方法总结]
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
技法三　消元法求最值
[例3] (2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________．
[方法总结]
消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．
[跟踪训练]
1．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为(　　)
A．－9 B．9
C．10 D．0
2．(2021·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)
A．0 B．
C．2 D．
考点二 利用基本不等式解决实际问题
[例4] 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝，
当该型号汽车的速度为________km/h时，每小时耗油量最少，最少为每小时________L.
[方法总结]
应用基本不等式解决实际问题的基本步骤
(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；
(3)还原为实际问题，写出答案．
[跟踪训练]
某人准备在一块占地面积为1800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m2，其中a∶b＝1∶2，则S的最大值为________．
六、随堂训练
1．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
2．(2021·郑州市第一次质量预测)已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为________．
3．函数y＝(x>1)的最小值为________．
4．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为____________________________，
＋的最小值为________．
5．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0七、本课小结
本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．答案：D
解析：因为x<0，所以－x>0，
－x＋≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，
所以x＋≤－2.
3．答案：C
解析：当x>2时，x－2>0，
f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，
即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
4．答案：
解析：y＝2x(1－x)≤2＝.
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．
5．答案：25
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，由题知0则面积S＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，
即x＝5时等号成立．
故当矩形的长与宽相等，
且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
典例剖析
[例1] 答案：(1)B　(1)
解析：(1)因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，
即x＝2时取等号，
所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，
所以2a＋3b＝7.
(2)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，
即x＝时，取等号．
[例2] 答案：9
解析：＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
【变式探究】
1．答案：4
解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
2．答案：＋
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，
＝
＝
＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．
[例3] 答案：
解析：
方法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即y2＝时取等号，
则x2＋y2的最小值是.
方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，
当且仅当5x2＋y2 ＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，
则x2＋y2的最小值是，
[跟踪训练]
1．答案：B
解析：＝5＋＋x2y2≥5＋2＝9，
当且仅当xy＝±时，上式取得等号，可得最小值为9.
2．答案：B
解析：由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，
当且仅当，即时取等号，故选B.
3．答案：C
解析：z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，
此时取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，
当且仅当y＝1时等号成立，
综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.
[例4] 答案：　65　9
解析：当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9<10，所以当x＝65，
即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少，最少为每小时9 L.
[跟踪训练]
答案：1 568
解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，x>3，y>3，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y
＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.
六、随堂训练
1．答案：ABD
解析：对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，正确；
对于选项B，易知02－1＝，正确；
对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，错误；
对于选项D，因为＝，所以[]2－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以＋≤，正确．故选ABD.
2．答案：
解析：因为2a＋b＝4，a>0，b>0，
所以＝≥＝＝，
当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，
所以的最小值为.
3．答案：2＋2
解析：因为x>1，所以x－1>0，
所以y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
4．答案：2　
解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，
所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，
所以ab的最大值为2，
因为＋＝·＝(5＋＋)≥＝，
当且仅当a＝b时等号成立，
所以＋的最小值为.
5．解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为00，
所以y＝＝·≤·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.

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