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函数及其表示
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1．通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3．会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 4．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．求函数的定义域． 2．求函数的解析式． 3．分段函数． 1．数学抽象． 2．数学运算． 3．直观想象．
二、本节重难点
1．以指数函数、对数函数、分式函数及带二次根号的函数为载体，考查函数的定义域，凸显数学运算的核心素养．
2．考查换元法、待定系数法、解方程组法等在求函数解析式中的应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与不等式、方程、指数函数、对数函数相结合考查分段函数求值或求参数问题，凸显分类讨论思想的应用及数学运算的核心素养．
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是相等函数．(　　)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
2．已知函数f(x)＝，则函数f(x)的定义域为(　　)
A．(－∞，3)　　　　　　 B．(－∞，2)∪(2，3]
C．(－∞，2)∪(2，3) D．(3，＋∞)
3．(易错题)下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　)
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
5．已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为__________________．
四、考点梳理
1．函数的概念
(1)函数的定义
①A，B是两个非空数集．
②对于A中任意一元素x，B中都有唯一确定的元素y与之对应．
(2)定义域：x的取值范围A.
(3)值域：函数值的集合．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
常见误区
1．函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
五、典例剖析
考点一　函数的定义域
1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　　)
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C．(0，2) D．[1，2]
2．(2021·抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数的定义域为(　　)
A．(0，3) B．[1，3)∪(3，8]
C．[1，3) D．[0，3)
3．如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
[方法总结]
求函数定义域的两种方法
方法 解读 适合题型
直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域
转移法 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域 已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域
[注意]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
考点二 函数的解析式
[例1] (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为________________．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
[方法总结]
求函数解析式的4种方法
　
[跟踪训练]
1．(一题多解)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．
考点三分段函数
角度一　求分段函数的函数值
[例2] (多选)已知f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(f(1))＝ B．f(f(－1))＝
C．f(f(0))＝ D．f＝19
[方法总结]
分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度二　分段函数与方程、不等式问题
[例3] (1)(一题多解)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)(一题多解)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，0)
[方法总结]
已知函数值或函数值的取值范围，求自变量的值或自变量的取值范围
方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝若f＝－6，则实数a＝________，f(2)＝________．
2．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
考点四 函数的新定义问题
[例4] (2021·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为“n阶整点函数”．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；
③h(x)＝；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是(　　)
A．①②③④ B．①③
C．①④ D．④
[方法总结]
(1)函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(2)破解函数的新定义问题的关键：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
[跟踪训练]
若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
六、随堂训练
1．(多选)函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是(　　)
A．f(x)＝f B．－f(x)＝f
C．＝f D．f(－x)＝－f(x)
2．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
3．(2021·广东省七校联考)已知函数f(x)＝，若f(a－1)＝，则实数a＝________．
4．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝3·f＋1，求f(x)的解析式．
5．设函数f(x)＝求：
(1)f(f(2))的值；
(2)求函数f(x)的值域．
七、本课小结
本节知识以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，中等偏上难度.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．答案：C
解析：要使函数有意义，则即即x<3且x≠2，即函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，3)，故选C.
3．答案：C
解析：A项，函数定义域为M，但值域不是N；
B项，函数定义域不是M，值域为N；
D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．
故选C项．
4．答案：③
解析：对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝ Q，所以③不是函数．
5．答案：f(x)＝x2－4x＋3
解析：
方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二(配凑法)：因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
典例剖析
1．答案：B
解析：要使函数有意义，则
解得1所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．
2．答案：D
解析：因为函数f(x)的定义域为[0，6]，
所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.
又因为x－3≠0，所以函数的定义域为[0，3)．
3．答案：D
解析：因为－2x＋a>0，
所以x<，所以＝1，所以a＝2.
4．答案：[0，4]
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0综上可得0≤m≤4.
[例1] 答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1) (2)f(x)＝x2－x＋3　(3)f(x)＝2x
解析：
(1)方法一(换元法)：令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3，
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
[跟踪训练]
1．答案：x2－5x＋9(x∈R)
解析：
方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，
则x＝，
所以f(t)＝4－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.
因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，
所以解得
所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．
[例2] 答案：ACD
解析：f(f(1))＝f＝＝，选项A正确；
f(f(－1))＝f(2)＝0≠，选项B不正确；
f(f(0))＝f(1)＝，选项C正确；
f＝f＝＝＝19，选项D正确．
[例3] 答案：　(1)C　(2)D
解析：
(1)方法一：当0＜a＜1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得＝2a，
所以a＝.
此时f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1＞1，
所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6，故选C.
方法二：因为当0＜x＜1时，f(x)＝，为增函数，
当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，
又f(a)＝f(a＋1)，所以＝2(a＋1－1)，
所以a＝.
所以f＝f(4)＝6.
(2)方法一：①当即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1，0)．
④当即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
故选D.
方法二：因为f(x)＝
所以函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.
此时x≤－1.
当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)＜f(2x)．
此时－1＜x＜0.
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．
故选D.
[跟踪训练]
1．答案：－5　－6
解析：由题意得，f＝3×＋1＝3，
所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，
所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.
2．答案：
解析：由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；
若x>0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝.
故所求x的集合为.
3．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.
当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
[例4] 答案：C
解析：对于函数f(x)＝sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
对于函数h(x)＝，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.
[跟踪训练]
答案：C
解析：由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，
所以函数的定义域可以是{0, }，{0，－}，{0，，－}，
故值域为{1，3}的同族函数共有3个．
随堂训练
1．答案：AD
解析：因为f(x)＝，所以f＝＝，所以f(x)＝f；
f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)．
故AD正确，BC错误．
2．答案：f(x)＝
解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，
所以f(x)＝
3．答案：log23
解析：当a－1≤0，即a≤1时，log2(4－a)＝，4－a＝，
故a＝4－，不满足a≤1，舍去；
当a－1>0，即a>1时，2a－1－1＝，2a－1＝，解得a＝log23，满足a>1.
综上可得a＝log23.
4．解：在f(x)＝3·f＋1中，将x换成，换成x，得f＝3·f(x)＋1，
将该方程代入已知方程消去f，得f(x)＝－－(x>0)．
5．解：(1)因为f(2)＝，
所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.
(2)当x>1时，f(x)∈(0，1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．

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