资源简介

集合
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 1.集合的基本概念． 2.集合间的基本关系． 3.集合的基本运算． 1.数学抽象． 2.数学运算． 3.逻辑推理．
二、本节重难点
1.与方程、函数、不等式等相结合考查集合元素的性质，凸显数学抽象的核心素养.
2.与不等式相结合考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.
3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养.)
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a A.(　　)
(3)若AB，则A B且A≠B.(　　)
(4)N*NZ.(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A．1 B．3
C．6 D．9
3．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|24．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则 UA＝____．
5．设集合A＝{x|1四、考点梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B (或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB (或BA)
集合 相等 集合A，B中元素相同 A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形 语言
符号 语言 A∪B＝ {x|x∈A或x ∈B} A∩B＝ {x|x∈A且x∈ B} UA＝ {x|x∈U且 x A}
常用结论
1．并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
2．交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
3．补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
常见误区
1．忽视集合中元素的互异性致误；
2．集合运算中端点取值把握不准致误；
3．忘记空集的情况致误．
五、典例剖析
考点一　集合的含义及表示
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
3．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　)
A．0 B．
C．1 D．2
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
[方法总结]
与集合中元素有关问题的求解策略
　
考点二　集合间的基本关系
[例1] (1) (2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知M，N均为R的子集，且 RM N，则M∪( RN)＝(　　)
A． B．M
C．N D．R
(2)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
[方法总结]
1.判断集合关系的3种常用方法
2.根据两集合的关系求参数的方法
[提醒]　题目中若有条件B A，则应分B＝ 和B≠ 两种情况进行讨论．　
[跟踪训练]
1．(多选)已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列正确的是(　　)
A．M∪N＝R B．N M
C．N∪ RM＝R D．M∩N＝N
2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8 C．15 D．16
3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
考点三　集合的基本运算
角度一　集合的运算
[例2] (1) (2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
(2)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则(　　)
A．M∪N＝{x|－3≤x<4}
B．M∩N＝{x|－2≤x<4}
C．( UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)
D．M∩( UN)＝(－3，－2)
[方法总结]
集合基本运算的求解策略
　
角度二　利用集合的运算求参数
[例3](1) (2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
[方法总结]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　
[跟踪训练]
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为(　　)
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2A．(－1，2) B．(0，2)
C．(－2，1) D．(－2，2)
六、随堂训练
1．(多选)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是(　　)
A．{－1} B．{0}
C．{1} D．{2}
2．(多选)已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩ RB＝{x|23．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________．
4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝________．
5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
七、本课小结
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．答案：C
解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
3．答案：{x|1≤x＜4}　{x|2＜x≤3}
解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}，A∩B＝{x|2＜x≤3}．
4．答案：{－1}
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以 UA＝{－1}．
5．答案：{a|a≥2}
解析：由A∩B＝A，可得A B，又A＝{x|1典例剖析
1．答案：C
解析：依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，
故B中有3个元素．
2．答案：C
解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．答案：BD
解析：因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
所以或
解得或
所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD.
4．答案：－
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
[例1] 答案：(1)B　(2)C
解析：(1)因为M，N均为R的子集，且 RM N，所以M RN，
所以M∪( RN)＝M.
故选B.
(2)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，
因为B A，所以有
所以－2≤a≤1.
[跟踪训练]
1．答案：BD
解析：因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|02．答案：A
解析：方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，
其真子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．
3．答案：0或1或－1
解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N M，
所以N＝ 或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
[例2] 答案：　(1)A　(2)BC
解析：
(1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以 U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.
方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2 U(A∪B)，故排除B，D；
又0∈A，所以0∈A∪B，所以0 U(A∪B)，故排除C，
故选A.
(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，
则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；
由于 UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故( UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；
由于 UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩( UN)＝[－3，－2)，D错误．
故选BC.
[例3] 答案：　(1)B　(2)D
解析：(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，
因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.
故选B.
方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．
若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；
若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；
若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；
若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．
故选B.
(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，
所以A∩B中元素的个数为4，选C.
2．答案：D
解析： UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，
记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝( UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
3．答案：D
解析：由x2－x－2<0得－1因为B＝{x|a－2所以B＝{x|－2随堂训练
1．答案：BCD
解析：因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B A.
由选项知有{0}A，{1}A，{2}A.故选BCD.
2．答案：BD
解析：因为A＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1A∪B＝{x|－1因为 RB＝{x|x<－2或x>2}，
所以A∪ RB＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；
A∩ RB＝{x|－12}＝{x|23．答案：0或3
解析：因为B A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
4．答案：{x|0解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴， U(A∪B)＝{x|05．答案：[－1，2)　(－∞，3]
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，
则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．

展开更多......

收起↑