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幂函数与二次函数
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.了解幂函数的概念． 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律． 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 1.幂函数的图象与性质． 2.求二次函数的解析式． 3.二次函数的图象与性质． 1.逻辑推理． 2.直观想象． 3.数据分析．
二、本节重难点
1.幂函数的图象与性质．
2.求二次函数的解析式．
3.二次函数的图象与性质.
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2是幂函数．(　　)
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
2．(易错题)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A． B．4
C． D．
3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
4．函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，3]上的最大值为________，最小值为________．
5．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
四、考点梳理
1．幂函数
(1)定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形
常用结论
幂函数的图象和性质
常见误区
1．易忽视对二次函数的二次项系数的讨论；
2．幂函数定义不清晰，导致出错．
五、典例剖析
考点一　幂函数的图象及性质
1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　)
A．cC．b2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　)
A．3 B．0 C．1 D．2
3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1B．－1C．－1D．－14．若，则实数a的取值范围是________．
[方法总结]
幂函数的图象与性质特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
考点二　二次函数的解析式
[例1] (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[方法总结]
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
　
[跟踪训练]
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
考点三　二次函数的图象与性质
角度一　二次函数图象的识别问题
[例2] 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
[方法总结]
识别二次函数图象应学会“三看”
　
角度二　二次函数的单调性问题
[例3] (1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，0) B．(－∞，－3]
C．[－2，0] D．[－3，0]
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f()，f，f()的大小关系是(　　)
A．f()B．fC．f()D．f()【变式探究】　(变条件)若本例(1)中，函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________．
[方法总结]
二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
角度三　二次函数的最值问题
[例4] 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．
[方法总结]
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．　
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是(　　)
A．a＝0 B．a<0
C．02．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)
A．f(0)B．f(0)C．f(2)D．f(－2)3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．
4．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，求实数m的取值范围．
六、随堂训练
1．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[4，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，4]
2．(2021·四川攀枝花模拟)已知幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点(4，2)，则m－n＝________．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b________0，ac________0，a－b＋c________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
4．如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a＝________．
5．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
七、本课小结
本节内容以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2．答案：C
解析：设f(x)＝xα，因为图象过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，
所以f(2)＝2－＝.
3．答案：D
解析：函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，
由函数在区间(－∞，6)上单调递减可知，
区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，
所以－2a≥6，解得a≤－3，
故选D.
4．答案：6　2
解析：f(x)＝(x－1)2＋2，0≤x≤3，
所以当x＝1时，f(x)min＝2；当x＝3时，f(x)max＝6.
5．答案：
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，
所以解得a>.
典例剖析
1．答案：B
解析：因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.
因为函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，
所以()n＝2，解得n＝3.
故函数f(x)＝x3，则函数为增函数，
因为n>m>ln 2，故c故选B.
2．答案：C
解析：因为函数y在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，解得－1因为m∈Z，所以m＝0，1，2.
而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数，
所以m＝1.
3．答案：D
解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，
且0<α<1时，图象上凸，所以0当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，
不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1综上所述，选D.
4．答案：
解析：易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以解得－1≤a<.
[例1]解：
方法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)＝－1，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，
所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[跟踪训练]
1．答案：A
解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－＝1①.
又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6②.
联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，
故选A.
2．答案：x2＋2x
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，
则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.
又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
[例2] 答案：B
解析：因为二次函数的图象与x轴交于两点，
所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，
即5a故选B.
[例3] 答案：(1)D　(2)D
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3，0]．
(2)由已知可得二次函数f(x)图象开口向上，对称轴为x＝1，
因为>|－1|>|－1|，
所以f()【变式探究】
答案：－3
解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0，又＝－1，所以a＝－3.
[例4] 解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，
最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，
最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：当a＝0时，f(x)为减函数，不符合题意；
当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋3图象的对称轴为x＝，
要使f(x)在区间[1，3]上为增函数，则或解得a≥1.
故选D.
2．答案：A
解析：由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝，
而抛物线的开口向上，且＝，＝，＝，
根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0)．故选A.
3．答案：
解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以对称轴为x＝1.
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，
当a<1故a的取值集合为.
4．解：作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有
即
解得－随堂训练
1．答案：B
解析：因为f(x)>0的解集为(－1，3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1，3，
所以得
令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.
当x∈[－1，0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，所以m≥4，
故选B.
2．答案：
解析：函数y＝mxn(m，n∈R)为幂函数，则m＝1；
又函数y＝xn的图象经过点(4，2)，则4n＝2，解得n＝.
所以m－n＝1－＝.
3．答案：>　<　<
解析：因为a<0，－>0，c>0，所以b>0，ac<0.
设y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，
则a－b＋c＝f(－1)<0.
4．答案：1
解析：因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，
所以函数的最大值在区间的端点取得．
因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1.
5．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.
故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

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