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相等关系与不等关系
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1．通过具体情境，感受生活中大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景． 2．理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 1.比较两个数(式)的大小． 2.不等式的性质及应用． 1.逻辑推理 2.数学运算
二、本节重难点
1．与命题的真假相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2．与实际问题相结合，考查应用不等式解决问题的能力，凸显数学建模的核心素养．
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)
(5)a>b>0，c>d>0 >.(　　)
(6)若ab>0，则a>b <.(　　)
2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB
3．(易错题)若a>b>0，cA.－>0 B.－<0
C.> D.<
4．已知1四、考点梳理
1．实数大小与运算性质之间的关系
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a．
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．
3．不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c a>c.
(3)可加性：a＞b a＋c>b＋c；
a＞b，c＞d a＋c>b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；
a>b，c<0 aca＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd.
(5)可乘方性：a＞b＞0 an>bn(n∈N，n≥1)．
(6)可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0 <；
(2)a<0(3)a>b>0，d>c>0 >.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)；
(2)>；<(b－m>0)．
常见误区
1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；
2．求范围乱用不等式的加法原理致错．
五、典例剖析
考点一 比较两个数(式)的大小
1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pC．p>q D．p≥q
2．已知a>b>0，m>0，则(　　)
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
3．若a＝，b＝，比较a与b的大小．
[方法总结]
比较两个数(式)大小的方法
注意：(1)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．
考点二　不等式的性质
[例1] (1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)
A．若＞1，则a＞b
B．若＞，则a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，则＞
D．若a2＞b2且ab＞0，则＜
(2)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
[方法总结]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
[跟踪训练]
1．(2020·石家庄质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2<－ab B．|a|<|b|
C.> D.>
2．已知aA．a2C．ba考点三　不等式性质的应用
[例2]已知－1【变式探究】
1．(变条件)若将本例条件改为“－12．(变问法)若本例的条件不变，求2x－3y的取值范围．
[方法总结]
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M1(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；
(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．　
[跟踪训练]
1．若6A．[9，18] B．(15，30)
C．[9，30] D．(9，30)
2．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
六、随堂训练
1．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B.－c>－c
C.> D．ac22．若a13．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
4．设a>b，有下列不等式：①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________．(填序号)
5．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
七、本课小结
本节内容以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、解析几何、实际问题等相结合进行综合命题.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
2．答案：B
解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
3．答案：D
解析：因为c又0所以－bd<－ac，即bd>ac，
又因为cd>0，所以>，即>.
4．答案：
解析：因为1又因为<<，
所以<<＝2，即<<2.
典例剖析
1．答案：B
解析：(作差法)
p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，
所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p综上，p≤q.故选B.
2．答案：C
解析：－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，
所以<0.
即－<0.
所以<.
3．解：因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log89＞1，
所以a＞b.
[例1] 答案：(1)C　(2)BCD
解析：(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；
B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；
C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以＞，故C正确；
D中，当a＜0，b＜0时，＜不成立，故D错误．
综上所述，故选C.
(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；
a2>ab， ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；
a>b>0 a2>b2>0 0<<，因为c<0，所以>，所以C命题是真命题；
> －>0 >0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，
故选BCD.
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：
通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，<，
所以A，B，D不一定成立，
因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以－＝>0，所以>一定成立，
故选C.
优解：因为a>0>b，所以>0>，所以>一定成立．故选C.
2．答案：D
解析：因为a0，b的符号不确定，
对于b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．
[例2] 答案：(－4，2)　(1，18)
解析：因为－1所以－3<－y<－2，
所以－4由－14<2y<6，
所以1<3x＋2y<18.
【变式探究】
1．解：因为－1所以－3<－y<1，所以－4又因为x＜y，所以x－y<0，
所以－4故x－y的取值范围为(－4，0)．
2．解：因为－1所以－2<2x<8，－9<－3y<－6.
即－11<2x－3y<2.
故2x－3y的取值范围为(－11，2)
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，
因为6故选D.
2．答案：(－π，0)
解析：由－<α<，－<－β<，α<β，
得－π<α－β<0.
随堂训练
1．答案：ABC
解析：因为y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以.
因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c>－c.
因为－＝>0，所以>.
当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．
故选ABC.
2．答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，
因为a1所以(a1－a2)(b1－b2)>0，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
3．答案：(－3，3)
解析：因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.所以－3<α－|β|<3.
4．答案：①④
解析：对于①，>0，故①成立；
对于②，a>0，b<0时不成立；
对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；
对于④，|c|≥0，故④成立．
5．答案：(－∞，－1)
解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1综上可得b<－1.