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第二章　一元二次函数、方程和不等式
等式性质与不等式性质（共2课时）
（第1课时）
1.会用不等式(组)表示不等关系；
2.能够运用作差法比较两个数或式的大小.
1. 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问题；
2.运用作差法比较代数式大小，对学生数学运算的要求较高
1. 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________.
2．不等式中文字语言与数学符号之间的转换
大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于
3.比较两实数大小基本方法:
(1)两个实数大小的比较原理
①差值比较原理：设a、b∈R，则a＞b a－b＞0，
a＝b a－b＝0，a＜b a－b<0.
②商值比较原理：设a、b∈R＋，则＞1 a＞b，
＝1 a＝b， <1 a(2)两个实数大小比较的一般步骤
①作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．
（一）、情境导学
1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？
2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。
（二）、探索新知
探究一 用不等式表示不等关系
例1.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm
两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
归纳总结;
跟踪训练：
1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
2．某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t，则x、y应满足的不等关系是(　　)
A．x＋y>120 B．x＋y<120
C．x＋y≥120 D．x＋y≤120
探究二 比较数或式子的大小
我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：
(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.
根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？
步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步
例2.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
归纳总结;
跟踪训练
1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　 )
A．M>N　　　B．M＝N C．M2.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；
3.设a∈R且a≠0，比较a与的大小．
1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是(　　)
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
2.若A=+3与B=+2,则A与B的大小关系是(　　)
A.A>B B.A3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:
设用x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A和63 000 单位的维生素B.试用不等式组表示x,y所满足的不等关系.
4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系.
5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与,a∈R,且a≠1.
用不等式(组)表示不等关系时,应遵循“一找(不等关系);二析(涉及的量);三设(设出合理的未知数);
四列(不等式(组))”.
2..作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.
因式分解
配方
通分
分类讨论
3.本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.
参考答案：
探究一 例1. [解析]　设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，
依题意，可得不等式组：，即.
归纳总结;用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．
跟踪训练：
1.[解析]　提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－×0.2)x万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：
(8－×0.2)x≥20.
2.[解析]　由题意可得x＋y≥120，故选C．
探究二 例2．[解析]　∵x＜y＜0，xy＞0，
x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
归纳总结：比较两个实数(或代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
跟踪训练
1.[解析]　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴M>N，故选A．
2. [解析]　 x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．
3.由a－＝
当a＝±1时，a＝；
当－1＜a＜0或a＞1时，a＞；当a＜－1或0＜a＜1时，a＜.
达标检测
1.【答案】　D
2.【解析】　由于A-B=+3->0,
所以A>B,故选A. 【答案】　A
3.【解析】由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B (800x+400y)单位,
则有
故当a>1时,a+2>; 当a<1时,a+2<.
4. 【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
故x应满足的不等关系为
5.【解析】 (1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0,
所以2x2+3>x+2.
(2)(a+2)-.
由于a2+a+1=>0,
所以当a>1时,>0,即a+2>;
当a<1时,<0,即a+2<.
2.1等式性质与不等式性质（第2课时）
1.掌握常用不等式的基本性质；
2.会将一些基本性质结合起来应用。
1.将不等关系用不等式表示出来，理解并证明不等式的性质；
2.并能用不等式的性质证明一些简单的不等式；
一、设计问题,温故知新
问题1:等式的性质有哪些 请大家用符号表示出来.
问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗 请大家加以探究.
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b ____
2 传递性 a>b，b>c _____
3 可加性 a>b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 ac bc c的 符号
ac bc
5 同向 可加性 a＋c b＋d 同向
6 同向同正 可乘性 ac bd 同向 同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥2)
8 可开方性 a>b>0 >(n∈N*，n≥2)
二、新知探究
试证明下列不等式的性质
(1)对称性
文字语言 不等式两边互换后,再将不等号改变方向,所得不等式与原不等式等价
符号语言 a>b
作用 写出与原不等式等价且异向的不等式
跟踪训练.1.与m≥(n-2)2等价的是(　　).
A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n-2)2≤m D.(n-2)2(2)传递性
文字语言 如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量, 那么第一个量大于第三个量
符号语言 a>b,b>c
变形 a≥b,b≥c a≥c; a作用 比较大小或证明不等式
你能证明吗？
(3)加法法则
文字语言 不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式 与原不等式 .
符号语言 a>b a+c>
变形 a作用 不等式的移项,等价变形
(4)乘法法则
文字语言 不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变; 都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.
符号语言 a>b,c>0 ；a>b,c<0
变形 a≥b,c>0 ac≥bc；a≥b,c<0 ac≤bc；a0 acbc a≤b,c>0 ac≤bc；a≤b,c<0 ac≥bc
作用 不等式的同解变形
(5)加法单调性
文字语言 两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式 .
符号语言 a>b,c>d a+c>b+d
变形 a作用 由已知同向不等式推出其他不等式
(6)乘法单调性
文字语言 两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式 .
符号语言 a>b>0,c>d>0 ac>bd
作用 两个不等式相乘的变形
(7)正值不等式可乘方
文字语言 当不等式的两边都是 时,不等式两边同时 乘方所得的不等式与原不等式 .
符号语言 a>b>0 (n∈N,且n≥1)
作用 不等式两边的乘方变形
跟踪训练2. 给出下列结论：
①若ac>bc，则a>b；②若ab；④若a>b，c>d，则a－c>b－d；
⑤若a>b，c>d，则ac>bd.
其中正确结论的序号是___ _.
典例解析：用不等式的性质证明不等式
例1　已知a>b>0，c.
跟踪训练1：若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
典例解析：利用不等式的性质求取值范围
例2　已知－≤α<β≤，求，的范围．
跟踪训练2：已知1(1)2a＋b；(2)a－b；(3).
1．已知aA．a－cbd C.< D．ad>bc
2．若a、b、c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b≥b－c B．ac≥bc C.>0 D．(a－b)c2≥0
3．设24.已知a>b>0，c一、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b ____
2 传递性 a>b，b>c _____
3 可加性 a>b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 ac bc c的 符号
ac bc
5 同向 可加性 a＋c b＋d 同向
6 同向同正 可乘性 ac bd 同向 同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥2)
8 可开方性 a>b>0 >(n∈N*，n≥2)
二、运用不等式解决的基本问题由那些？
参考答案：
新知探究
（1）证明:∵a>b,∴a-b>0，由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.
即b-a<0,∴bb.
跟踪训练1.答案:C
（3）证明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.
（4）证明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,
得当c>0时,(a-b)c>0,即ac>bc;当c<0时,(a-b)c<0,即ac（5）证 a+c>b+d.
（6）证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc，∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.
跟踪训练2. 解析　①当c>0时，由ac>bc a>b，当c<0时，由ac>bc a③∵<<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴·ab<·ab，即bb，故③正确．
④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d错误．
⑤ ac>bd， acbd，ac>bd.
典例解析 例1.　∵c－d>0，
又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，
即a－c>b－d>0，∴0<<，
又∵e<0，∴>.
跟踪训练．解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，
∵bd>0，∴>0，∴≤，∴≤.
例2　 解析　∵－≤α<β≤，∴－≤<，－<≤.两式相加，
得－<<.∵－<≤，∴－≤－<，∴－≤<.
又∵α<β，∴<0.∴－≤<0.
跟踪训练(1)∵1(2)∵3(3)∵3达标检测
1.解析：根据不等式的同向同正的可乘性知，B正确．答案：B
2.解析：∵a>b，∴a－b>0.选项A中，当c＝0时，(a＋b)－(b－c)＝a＋c，由于a∈R，则选项A不成立；选项B中，ac－bc＝c(a－b)，由于c∈R，则选项B不成立；选项C中，由于c∈R，则c2≥0，∴≥0，则选项C不成立；选项D中，a－b>0，c2≥0，∴(a－b)c2≥0，则选项D成立．
答案：D
3.解析：4<2a<6，-2答案：5<2a -b<8
4.解析　∵c－d>0.∴0<－<－. 又∵a>b>0，∴－>－>0.
∴>，即－>－.
两边同乘以－1，得<.