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专题02 截长补短证全等
类型一 截长证全等
1．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论.
【详解】
证明：如图，在上截取
平分
平分
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.
2．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH代换即可得证．
【详解】
证明：如图，在上取一点H，使，连接．
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵、是的角平分线，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】
证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME，
在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）,
∵AD是∠BAC的平分线，
∴,
在△AMC和△AME中，
∵
∴△AMC≌△AME（SAS），
∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．
又∵BE＝AB－AE，
∴BE＝AB－AC，
∴MB－MC＜AB－AC．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，
同理可证得△ABM≌△AGM（SAS），
∴BM=GM，
∵在△MCG中MG-MC＜CG
∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC
即MB－MC＜AB－AC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形．
4．如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；
（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB．
【详解】
解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
（2）在AB上截取AE=AC，
∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，
∴△AOC≌△AOE（SAS），
∴∠C=∠AEO，
∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，
∴∠AEO+∠D=180°，
∵∠AEO+∠BEO=180°，
∴∠BEO=∠D，
又∠EBO=∠DBO，BO=BO，
∴△OBE≌△OBD（AAS），
∴BD=BE，又AC=AE，
∴AC+BD=AE+BE=AB．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．
5．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．
【答案】，证明见解析
【解析】
【分析】
在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．证明，得到，又证明，得到，最后结论可证了．
【详解】
证明:在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．

在 和




AC平分∠BAD
在 和中
【点睛】
本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．
6．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．
【详解】
证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB
＝180°﹣54°﹣54°
＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB
＝180°﹣108°
＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．
7．已知：如图，，，，求证：.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
由于DA=DB，想到作DE⊥AB，构造直角∠AED，只需要证明∠ACD=∠AED，本题就得解．从而转化为说明△AED≌△ACD的问题．
【详解】
如图所示，作DE⊥AB于E，
∵DA=DB，DE⊥AB，
∴AE=EB=AB，∠AED=90°，
∵AB=2AC，
∴AC=AB，
∴AC=AE，
在△ACD和△AED中，
∵AC=AE，∠2=∠1，AD=AD，
∴△ACD≌△AED(SAS)，
∴∠ACD=∠AED=90°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质；解题时主要运用了全等三角形问题中常用辅助线-截长补短，通过辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解题，这是一种非常重要的方法，注意掌握．
8．如图，，，平分，且是中点试问：、和之间有何关系？并说明理由.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
AD+BC=AB，理由如下：如图，在AB上截取，证明，可得BF=BC，继而可得答案.
【详解】
AD+BC=AB，理由如下：
如图，在AB上截取，
平分，
，
，，
，，
∴∠BFE=90°，
，
，
，
是中点，，，
又，，
，
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线这一条件，在角两边截取相等线段构建全等三角形，实现截长补短见是解题的关键.
9．如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；
（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，如图；
是正方形，
；
，
，
，
∴，
又∵，
，
在和中
，
，
；
（2）解：成立．
在上取，连接，如图，
为正方形，
，
，
，，
又∵，
∴，
在和中
，
，
．
【点睛】
此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造．
类型二 补短证全等
10．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
【详解】
证明：延长ED至G，使，连结GC，
∵在中，为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∴，
，，
，
，
．
又，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
11．如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先延长BD至E，使CD＝DE，连接AE，AD，由BD＋DC＝AB，易得△ABE是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD＝∠E＝60°．
【详解】
延长BD至E，使，连接AE，AD，
∵，，
∴，
∵，
∴△ABE是等边三角形，
∴，，
在△ACD和△ADE中，
，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
12．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证
（2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论，
【详解】
解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∵，
∴
（2）如图，延长至F，使，连接，
由（1）得为等边三角形，
∴，
∵，
又∵，且，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴，
∴
又∵，
∴为等边三角形
∴，
又∵，且，
∴，
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．
13．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则．
【详解】
证明：延长至点，使得，连接，
四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
14．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②，证明见解析；（2），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）①参考小明的想法，延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分；
②沿用①中辅助线，延长到点，使得，连接，证得直角三角形，再利用勾股定理可求得，，之间的数量关系；
（2）类比（1）中证明的思路，延长至，使得，连，证明、，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到与的数量关系．
【详解】
（1）如图，延长到点，使得，连接．
，，
在与中，
，
．
平分
（2）
证明：如图，延长到点，使得，连接．
由（1）知，
，
在直角三角形中，
（3）
证明：如图，延长至，使得，连，
由（1）知，
，
在与中，
，
，，
【点睛】
本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．
15．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件得出为直角三角形，再根据证出，从而证出即可得出结论；
（2）如图2，延长DC到 K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根据证明得，从而得出，然后得出结论；
（3）如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【详解】
（1）证明：如图1，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，
延长至点，使得，连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）；
如图3，在延长线上找一点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
类型三 截长补短证全等
16．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】
解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
，
，．
，．
．
，
．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，
．
在和中，，
．
，．
，
．
，
，
．
（2）、、之间的数量关系为：．
（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，
．
为等边三角形．
，．
，
．
．
，
为等边三角形．
，．
，
，
即．
在和中，，
．
，
，
．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．
．
在和中，，
，
，．
在和中，
，
．
，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
17．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：
如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，．
求证：．
小聪同学发现以下两种方法：
方法1：如图②，延长、交于点．
方法2：如图③，在上取一点，使，连接、．
（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；
（2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：．
【答案】（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，根据三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据线段的和差即可得证；
方法2：先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得，最后根据平行线的性质、平角的定义可得，由等腰三角形的定义可得，由此根据线段的和差即可得证；
（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出平分，从而有，再根据平行线的性质、角的和差得出，，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
【详解】
（1）方法1：如图②，延长、交于点
是的平分线
是边的中点
在和中，
；
方法2：如图③，在上取一点，使，连接、
是的平分线
在和中，
是边的中点
，即
，即
又
；
（2）如图，过点C作，交AE延长线于点G，延长GC交AB于点F，连接EF
由方法1可知：
是等腰三角形
平分
，
，即
在和中，
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专题02 截长补短证全等
类型一 截长证全等
1．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
2．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．
3．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
4．如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
5．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．
6．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
7．已知：如图，，，，求证：.
8．如图，，，平分，且是中点试问：、和之间有何关系？并说明理由.
9．如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．
（1）求证：；
（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
类型二 补短证全等
10．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．
11．如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：
12．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．
（1）求的度数；
（2）求证：．
13．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
14．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．
（1）如图1，在四边形中，，，连接．
①小明发现，此时平分．他通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，证明，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明平分．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．
②如图2，当时，请你判断线段，，之间的数量关系，并证明．
（2）如图3，等腰、等腰的顶点分别为、，点在线段上，且，请你判断与的数量关系，并证明．
15．已知在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝BC
（1）如图1，连接BD，若∠BAD＝90°，AD＝7，求DC的长度．
（2）如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ＝AP＋CQ，求证：∠PBQ＝∠ABP＋∠QBC
（3）若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ＝AP＋CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
类型三 截长补短证全等
16．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
17．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：
如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，．
求证：．
小聪同学发现以下两种方法：
方法1：如图②，延长、交于点．
方法2：如图③，在上取一点，使，连接、．
（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；
（2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：．

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