资源简介

4.2.3.2对数函数的性质与图像的应用导学案
【学习目标】
1. 理解并掌握对数函数的单调性．
2.了解对数函数的有关性质.
【学习重难点】
重点：对数函数的单调性．
难点：对数函数的综合应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 对数函数具有哪些性质？
(2) 反函数的概念是什么？
预习任务二：简单题型通关
1．y＝ln(x2＋1)的值域是(　　)
A．R　　　　　　　　 B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
2．设a＝log54，b＝log53，c＝log5，则(　　)
A．aC．b3．若y＝()x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
4．已知f(x)＝lg，x∈(－1,1)，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
二、新知精讲
1、对数函数的图象和性质
0＜a＜1 a＞1
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 (1)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(2)在(0，＋∞)上是减函数 (2)在(0，＋∞)上是增函数
2、反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax互为反函数．
3、对数方程的同解变形
(1)logaf(x)1与不等式组同解；
(2)logaf(x)三、题型探究
[例1]　比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．
[归纳总结]
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)同底的利用对数函数的单调性．
(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
[活学活用]
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 6，lg 8；　　　　　 (2)log0.56，log0.54；
(3)log2与log2; (4)log23与log54.
[例2]　(1)已知loga＞1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．
[归纳总结]
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
[活学活用]
2．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．
[例3]　求下列函数的值域．
(1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log (3＋2x－x2)．
[归纳总结]
(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．
(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．
[活学活用]
3．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．
[例4]　已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．
[一题多变]
1．[变条件]若f(x)变为loga(a＞1)，求f(x)的定义域．
2．[变设问]在本例条件下，若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．
四、达标检测
1．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，)　　　　　　 B．(0，)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
2．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　)
A．(0，] B.(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B.[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
4．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)求使函数f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围．
五、本课小结
1、比较对数值大小时的常用方法。
2、常见对数不等式的解法。
参考答案
课前预习
1．答案：B
2．答案：D
3．答案：
4．答案：－
题型探究
[例1]　[解](1)考查对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.
(2)考查对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.
(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.
[活学活用]
1．解析：(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.
(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log 0.54.
(3)由于log2＝，log2＝.
又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
∴0＞log2 ＞log2 ，∴＜.
∴log2＜log2.
(4)取中间值1，
∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.
[例2]　[解]　(1)由loga＞1得loga＞logaa.
①当a＞1时，有a＜，此时无解．
②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1.
∴a的取值范围是.
(2)∵函数y＝log 0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由log0.72x＜log0.7(x－1)
得解得x＞1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
[活学活用]
2．解析：由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.
当a＞1时，y＝logax是增函数，
∴解得a＞，
∴a＞1；
当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，
∴解得＜a＜.
∴＜a＜.
综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).
[例3]　[解]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u＞0，所以0＜u≤4.
又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
[活学活用]
3．解析：y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
∵f(x)的定义域为[1,9]，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足
∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.
∴当x＝3时，y取得最大值，为13.
[例4]　[解析]　∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．
∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．
[一题多变]
1．解析：因为f(x)＝loga，
需有＞0，即或所以－1＜x＜1.
所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
2．解析：∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
∴
解得－1＜x＜0.
故使h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}．
达标检测
1．解析：当a>1时，loga<0<1，成立．
当0由loga<1＝logaa，得0综上所述，01.
答案：B
2．解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
答案：D
3．解析：当x≤1时，解21－x≤2，得0≤x≤1.当x>1时，解1－log2x≤2，得x≥，与x>1取交集得x>1.因此，满足f(x)≤2的x的取值范围是x≥0，故选D.
答案：D
4．解析：(1)由题意可知，f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)，要使函数f(x)－g(x)有意义，自变量x的取值需满足解得－1＜x＜2，
∴函数f(x)－g(x)的定义域是(－1,2)．
(2)令f(x)－g(x)＞0，得f(x)＞g(x)，
即loga(x＋1)＞loga(4－2x)，
当a＞1时，可得x＋1＞4－2x，解得x＞1.
由(1)知－1＜x＜2，∴1＜x＜2；
当0＜a＜1时，可得x＋1＜4－2x，解得x＜1，
由(1)知－1＜x＜2，∴－1＜x＜1.
综上，当a＞1时，x的取值范围是(1,2)；当0＜a＜1时，x的取值范围是(－1,1)．

展开更多......

收起↑