资源简介

5.1.1 数据的收集(2)
【学习目标】
1.通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围；
2.了解分层随机抽样的必要性；
3.掌握各层样本量比例分配的方法；
4.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 什么是分层随机抽样？分层随机抽样的总体具有什么特性？
(2) 简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？
二、课前小测
1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样　　　 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．随机数法抽样
2．某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用比例分配的分层随机抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员有(　　)
A．3人 B．4人
C．7人 D．12人
3．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7.现在按分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，样本中A号产品有15件，那么样本量n为(　　)
A．50 B．60
C．70 D．80
4．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000 辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆．
三、新知探究
1.分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
2.分层随机抽样的特点
(1)从分层随机抽样的定义可看出，分层随机抽样适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况.
(2)分层随机抽样是等可能抽样.用分层随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，都等于.
(3)分层随机抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，更能充分反映总体的情况，在实践中的应用也更广泛
3.分层随机抽样的实施步骤
(1)根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；
(2)根据总体中的个体数N和样本量n计算抽样比k＝ ；
(3)确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni之和为n；
(4)在各个层中，按步骤(3)中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本.
4．分层随机抽样下总体平均数的估计
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
＝＝i，
＝＝i.
第2层的总体平均数和样本平均数分别为
＝＝i，
＝＝i.
总体平均数和样本平均数分别为
＝，＝.
在比例分配的分层随机抽样中，
＝＝，
＋＝＋＝.
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
四、题型突破
题型一 分层随机抽样的概念
【例1】(1)下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．红星中学共有学生1600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本
C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等概率抽样，必须进行(　　)
A．每层等概率抽样
B．每层可以不等概率抽样
C．所有层按同一抽样比等概率抽样
D．所有层抽个体数量相同
【反思感悟】
分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则
(1)前提：分层随机抽样的适用前提是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.
(2)遵循的两个原则：
①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
选择抽样方法的思路
(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层随机抽样.
(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样.当总体中的个体数较小时，宜用抽签法；当总体中的个体数较大、样本量较小时，宜用随机数法.
【跟踪训练】
1．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)
A．抽签法　　　　　 B．简单随机抽样法
C．分层随机抽样法 D．随机数法
题型二 比例分配的分层抽样的运用
【例2】某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
【反思感悟】
分层随机抽样的步骤
(1)将总体按一定标准进行分层；
(2)计算各层的个体数与总体的比；
(3)按各层的个体数与总体的比确定各层应抽取的样本量；
(4)在每一层进行抽样（可用简单随机抽样抽取个体）；
(5)最后将每一层抽取的样本合成总样本.
【跟踪训练】
2．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
五、达标检测
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法　　　　　　 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
2．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
3．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2 cm，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0 cm，则该校高一学生的平均身高的估计值为________．
六、本课小结
1．对于分层随机抽样问题，常利用以下关系式求解：
＝.
2．选择抽样方法的规律：
(1)当总体和样本量都较小时，采用抽签法；当总体量较大，样本量较小时，采用随机数法；
(2)当总体可以分为若干个层时，采用分层随机抽样．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层随机抽样．故选C.
2．答案：B
解析：由＝，设管理人员x人，则＝，得x＝4.故选B.
3．答案：C
解析：由分层随机抽样定义知＝，∴n＝70，故选C.
4．答案：6　30　10
解析：三种型号的轿车共9 200辆，抽取样本量为46辆，
则按＝的比例抽样，
所以依次应抽取1 200×＝6(辆)，6 000×＝30(辆)，2 000×＝10(辆)．
题型突破
【例1】答案：(1)B　(2)C
解析：(1)A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用简单随机抽样和分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．
(2)保证每个个体等概率的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等概率抽取．
【跟踪训练】
1．答案：C
解析：总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样．故选C.
【例2】解：由题意知，该抽样为比例分配的分层随机抽样，抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本量与总样本量的比为＝；
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)；
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人；
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
【跟踪训练】
2．解：由题意知，该抽样为比例分配的分层随机抽样，抽取步骤如下：
(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．
(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为＝，则在不到35岁的职工中抽取125×＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×＝19(人)．
(3)在各层按随机数法抽取样本．
(4)汇总每层抽样，组成样本．
达标检测
1．答案：C
解析：根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．
2．答案：60
答案：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.
3．答案：166.4 cm
解析：由题意可知，＝170.2，＝162.0
且M＝320，N＝280
所以样本平均数
＝＋＝×170.2＋×162.0≈166.4(cm)
故该校高一学生的平均身高的估计值为166.4 cm.

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