资源简介

5.1.1.2　分层抽样
学习目标
1．通过实例了解分层随机抽样的特点和适用范围．(重点)
2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．(重点，难点)
3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值计算方法．(重点)
学习过程
一、考点精讲
1．分层随机抽样的相关概念
(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
2．样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为和，则样本的平均数
＝＋＝＋.
二、典例剖析
题型一 对分层随机抽样概念的理解
【例1】　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适(　　)
A．抽签法法　　　　　　 B．随机数法
C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
[方法技巧]
1．使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
2．使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
[活学活用]
1、下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
题型二 分层随机抽样的应用
【例2】　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[方法技巧]
分层随机抽样的步骤
[活学活用]
2、某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
题型三 分层随机抽样中的计算问题
[探究问题]
1．在分层随机抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？
[提示]　每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数， 为抽样比．
2．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
[提示]　设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1,2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则＝，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．
【例3】　(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A．101　　　 B．808　　　 C．1 212　　　 D．2 012
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取 个个体．
(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为 ．
[活学活用]
3、本例(2)中，A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为 ．
三、达标检测
1．判断正误
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小．(　　)
(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的．(　　)
(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样．(　　)
2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法　　　　　　 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　)
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人
4．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取
__________名学生．
四、本课小结
1．对于分层随机抽样问题，常利用以下关系式求解：
＝.
2．选择抽样方法的规律：
(1)当总体和样本量都较小时，采用抽签法；当总体量较大，样本量较小时，采用随机数法；
(2)当总体可以分为若干个层时，采用分层随机抽样．
参考答案
典例剖析
【例1】　答案：(1)D　(2)C
解析：(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]
[活学活用]
1、答案：B　
解析：A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．
【例2】　解析：　抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
[活学活用]
2、解析：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法．
具体过程如下：
第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．
第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
第四步，将300人合到一起，即得到一个样本．
【例3】　答案：(1)B　(2)20　(3)6
解析：(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，
所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人)．
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体．
(3)＝×3＋×8＝6.
[活学活用]
3、答案：20．5
解析：由题意可知样本的平均数为
＝×15＋×30＋×20＝20.5.
达标检测
1．解析：　(1)错误．在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，还要依据总体的构成情况．
(2)错误．根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．
(3)错误．适合用简单随机抽样．
答案：　(1)×　 (2)×　 (3)×
2．答案：C　根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．
3．答案：B　先求抽样比＝＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30(人)，乙校抽取5 400×＝45(人)，丙校抽取1 800×＝15(人)，故选B.
4．答案：60　根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60.

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