资源简介

5.1.2.1 总体集中趋势的估计
学习目标
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)．(重点、难点)
2.理解集中趋势参数的统计含义．(重点、难点)
学习过程
一、考点精讲
1．众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．
2．众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．
(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．
二、典例剖析
题型一 平均数、中位数和众数的计算
【例1】　已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a＞b＞c　　　 B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
[方法技巧]
(1)求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．
(2)求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．
[活学活用]
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分
C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分
题型二 平均数、中位数和众数的实际应用
【例2】　下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计
3 000元 450元 350元 400元 320元 320元 410元
(1)计算所有人员的周平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
[方法技巧]
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．
[活学活用]
2．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群　13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群　54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
题型三 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
[探究问题]
1．频率分布直方图中每个小矩形的面积代表什么？
[提示]　频率分布直方图中每个小矩形的面积是样本数据落在这一组的频率．
2．在频率分布直方图中，如何确定众数和中位数？
[提示]　在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
【例3】　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
[思路探究]　(1)最高的小长方形的底边中点的横坐标即为样本数据的众数；
(2)判断中位数所在的区间，设出中位数，根据中位数的左右两边的频率相等列出方程求解．
[活学活用]
1．若例3的条件不变，求数学成绩的平均分．
2．若例3条件不变，求80分以下的学生人数．
[方法技巧]
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．
三、达标检测
1．判断正误
(1) 一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．(　　)
(2) 样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．(　　)
(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．(　　)
2．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为(　　)
A．4.55　　　B．4.5　　　C．12.5　　　D．1.64
3．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　)
A．众数 B．中位数
C．平均数 D．都不会
4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
四、本课小结
1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．
2．利用直方图求数字特征：
(1)众数是最高的矩形的底边的中点．
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
参考答案
典例剖析
【例1】　答案：D　由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.
[活学活用]
1．答案：C　由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为＝87.
【例2】 解析：(1)周平均收入1＝(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．
(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
(3)去掉老板的收入后的周平均收入2＝(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．
这能代表打工人员的周收入水平．
[活学活用]
2．解析：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
【例3】解析：(1)由题干图知众数为＝75.
(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
[活学活用]
1．解析：由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
2．解析：　[40,80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，
所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
达标检测
1．解析：(1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都是众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．
(2)错误．样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)错误．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．答案：A　由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.
3．答案：A　众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．
4．解析：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．

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