资源简介

5.1.2.2　总体百分位数的估计
学习目标
结合实例，能用样本估计百分位数．(重点)
2．理解百分位数的统计含义．(重点、难点)
学习过程
一、考点精讲
1．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
思考：(1) 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？
(2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？
[提示]　(1)不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．
(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
二、典例剖析
题型一 百分位数的计算
【例1】　从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7.9, 9.0, 8.9, 8.6, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 9.9, 7.8, 8.3, 8.0.
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数．
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
[方法技巧]
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)排列：按照从小到大排列原始数据；
(2)计算i：计算i＝n×p%；
(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
[活学活用]
1、以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，
则这15人成绩的第80百分位数是(　　 )
A．90　　　 B．90.5　　　 C．91　　　 D．91.5
题型二 百分位数的综合应用
[探究问题]
1．第p百分位数有什么特点？
[提示]　总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%.
2．某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？
[提示]　不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在．
【例2】　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．
[活学活用]
2、根据本例(2)题中求得的数据计算用电量的15%分位数．
[方法技巧]
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．
三、达标检测
1．判断正误
(1)若一组样本数据各不相等，则其第75%分位数大于第25%分位数．(　　)
(2)若一组样本数据的第10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(　　)
(3)若一组样本数据的第24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(　　)
2．下列一组数据的第25百分位数是(　　)
2.1, 3.0, 3.2, 3.8, 3.4, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6
A．3.2　　　B．3.0　　　C．4.4　　　D．2.5
3．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)
A. 这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
四、本课小结
求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为i项与第(i＋1)项数据的平均数．
参考答案
典例剖析
【例1】　解析：　(1)将所有数据从小到大排列，得
7.8, 7.9, 8.0, 8.3, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 8.6, 8.9, 9.0, 9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
则第25百分位数是＝8.15，
第75百分位数是＝8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
[活学活用]
1、答案：B　 把成绩按从小到大的顺序排列为：
56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，
因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5.
【例2】　解析：　(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，
解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．
[活学活用]
2、解析：　设15%分位数为x，
因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%，
用电量不超过200千瓦时的占30%，
所以15%分位数为x在[100,200)内，所以0.1＋(x－100)×0.002＝0.15，
解得x＝125千瓦时，即用电量的15%分位数为125千瓦时．
达标检测
1．解析：　(1)正确．
(2)错误．若一组样本数据的第10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.
(3)正确．
答案：　(1)√　(2)×　(3)√
2．答案：A　 把这组数据按照由小到大排列，可得：
2.1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．
3．答案：C　 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.

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