资源简介

5.1.2数据的数字特征(极差、方差、标准差)
【学习目标】
1. 结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义.
2. 能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，并从中提取需要的参数估计总体.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)什么是方差和标准差？什么是总体方差和标准差？什么是样本方差和标准差？
(2)怎样求分层随机抽样的方差？
二、课前小测
1．下列说法中正确的个数为(　　)
①数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定；
②数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定；
③数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定；
④数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．9.4，0.484 B．9.4，0.016
C．9.5，0.04 D．9.5，0.016
4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派________参赛最为合适．
5．用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝______.
三、新知探究
1．方差(标准差)
如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用s2表示．
s2＝(xi－)2，
如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为s2a2.
方差的算术平方根为标准差，用s表示，即s＝.
2．对方差、标准差的理解
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
(3)标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
(4)标准差的单位与样本数据一致．
(5)方差s2＝.
四、题型突破
题型一 标准差、方差、极差的计算
[例1]　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
【反思感悟】
计算标准差的5步骤
(1)求出样本数据的平均数.
(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1，2，…，n)．
(3)求出xi－ (i＝1，2，…，n)的平方值．
(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．
(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．
【跟踪训练】
1．一组样本数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则该组数据的方差为________．
题型二 总体离散程度的估计
[例2]　甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
【反思感悟】
研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准，若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．
【跟踪训练】
3. 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
五、达标检测
1．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　)
图1　　　　　　图2　　　　　　图3
A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1
2．已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为(　　)
A．1 B. C. D．2
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
六、本课小结
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故②不正确，①③④正确．
2．答案：A
解析：由s2＝，得s2＝×100－32＝1，∴s＝1.
3．答案：D
解析：＝＝9.5，
s2＝(0.12×4＋0.22)＝0.016.
4．答案：丙
解析：由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
5．答案：
解析：∵该组样本数据的平均数为10，
∴(8＋x＋10＋11＋9)÷5＝10，
∴x＝12，
∴s2＝(4＋4＋0＋1＋1)＝2，
∴s＝.
题型突破
[例1]解：
甲组：
最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝ ＝≈10.91(分)．
乙组：
最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝ ＝≈8.67(分)．
【跟踪训练】
1．答案：C
解析：x2－5x＋4＝0的两根为1，4，
当a＝1时，a，3，5，7的平均数是4；
当a＝4时，a，3，5，7的平均数不是1，
所以a＝1，b＝4，s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
2．答案：150
解析：根据题意知，该组数据的平均数为＝×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，
所以该组数据的方差为s2＝×[(450－450)2＋(430－450)2＋(460－450)2＋(440－450)2＋(450－450)2＋(440－450)2＋(470－450)2＋(460－450)2]＝150.
[例2]　解：(1) 甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2.
(3) 甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s，说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
【跟踪训练】
3. 解：(1)甲＝[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，
乙＝[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，∵s＞s，
故乙机床加工零件的质量更稳定．
达标检测
1．答案：D
解析：所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.
2．答案：B
解析：∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝＝.
3．答案：C
解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，
则两个班数学成绩的方差为
s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.

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