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5.1.2数据的数字特征(平均数、中位数、众数)
【学习目标】
1. 结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)．
2. 理解集中趋势参数的统计含义．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
1.什么是众数、中位数和平均数？它们之间有什么联系与区别？
2. 怎样利用直方图求众数、中位数和平均数？
二、课前小测
1．一组数据：85，88，73，88，79，85，其众数是(　　)
A．88 B．73
C．88，85 D．85
2．已知数据－3，－2，0，6，6，13，20，35，则它的中位数和众数各是(　　)
A．6和6 B．3和6
C．6和3 D．9.5和6
3．已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为(　　)
A．5 B．6
C．4 D．5.5
4．已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是________.
5．一组数据1，10，5，2，x，2，且2三、新知探究
1．众数、中位数、平均数
(1)一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
[特殊说明]　如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．
(2)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．
(3)如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．
众数、中位数、平均数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．
2．众数、中位数、平均数的比较
名称 优点 缺点
众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征
中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
四、题型突破
题型一 众数、中位数、平均数的计算
[例1]　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
【反思感悟】
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
【跟踪训练】
1. 如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
题型二 总体集中趋势的估计
[例2]　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数、中位数、平均分；
(2)估计该校参加高二年级学业水平测试的学生的众数、中位数和平均数．
【反思感悟】
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
【跟踪训练】
2. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，
则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55，75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________．
五、达标检测
1．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　　)
A．14，14 B．12，14
C．14，15.5 D．12，15.5
2．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为(　　)
A．4.55　　　B．4.5　　　C．12.5　　　D．1.64
3．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是(　　)
A．众数 B．中位数
C．平均数 D．都不会
4．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
六、本课小结
1．一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序．
2．利用直方图求数字特征：
(1)众数是最高的矩形的底边的中点．
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等．
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：该组数据85，88，73，88，79，85有两个众数，它们是88，85.故选C.
2．答案：A
解析：∵从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6，
∴中位数是6；
∵6出现的次数最多，
∴众数是6，故选A.
3．答案：B
解析：由题意得(4＋x)＝5，得x＝6.
4．答案：3
解析：∵数据0，2，x，4，5的众数是4，
∴x＝4，
∴这组数据的平均数是×(0＋2＋4＋4＋5)＝3.
5．答案：4
解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷＝3，
把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，
则＝3，解得x＝4，
所以这组数据的平均数为＝×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4.
题型突破
[例1] 解：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为6岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
【跟踪训练】
1.答案：D
解析：
法一(定义法)：
依题意x1＋x2＋…＋x5＝35，所以(x1＋1)＋(x2＋1)＋…＋(x5＋1)＝40，
故所求平均数为＝8.
法二(性质法)：
显然新数据(记为yi)与原有数据的关系为yi＝xi＋1(i＝1，2，3，4，5)，
故新数据的平均数为＋1＝8.
[例2] 解：(1)①由题图知众数为＝75.
②由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
③由题图知这次数学成绩的平均分为：
×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
(2)由于数据是来自高二年级全部参加学业水平测试的学生的简单随机样本，所以可以估计高二年级参加学业水平测试的学生的众数是75，中位数是73.3，平均分是72.
【跟踪训练】
2. 答案：(1)13　(2)62.5　(3)64
解析：(1)(0.04×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)因为0.2＋0.4＞0.5，所以中位数一定在[55，65]之间，设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
达标检测
1．答案：A
解析：把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.
2．答案：A
解析：由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.
3．答案：A
解析：众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现．
4．解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，
得众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
所以平均成绩约为67分．

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