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5.3.1样本空间与事件
【学习目标】
1.结合具体实例，理解样本点、样本空间的含义；会表示试验的样本空间；
2.结合实例，理解随机事件与样本点的关系，会用集合表示随机事件；
3.了解必然事件、不可能事件的概念.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 什么是随机试验？随机试验有什么特点？
(2) 什么是样本点？什么是样本空间？什么是有限样本空间？
(3) 什么是随机事件？什么是必然事件？什么是不可能事件？
二、课前小测
1．下列事件：
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②经过有信号灯的路口，遇上红灯；
③下周六是晴天．
其中，是随机事件的是(　　 )
A．①② B．②③
C．①③ D．②
2．为了丰富高一学生们的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．下列事件中，必然事件是(　　)
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
4．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是(　　)
A．不可能事件 B．必然事件
C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件
5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________.
三、新知探究
1．随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验.常用字母E表示.
随机试验的三个特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2. 随机试验的样本点
随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.
一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点. 我们只讨论Ω为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
样本点有如下特征：
(1)样本点是试验中不能再分的最简单的结果；
(2)样本空间是全体样本点的集合，在书写时要注意表达形式，可用列举法写，也可用描述法写；
(3)样本空间相当于集合中的全集，样本点是样本空间的元素；
(4)同一个试验，由于观察目标的不同，其样本点、样本空间一般也会不同；
(5)样本点有无限多个的随机试验不在本书的范围内.
3. 随机事件
随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
4. 必然事件和不可能事件
样本空间Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
四、题型突破
题型一 事件类型的判断
[例1]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的两边之和大于第三边；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
【反思感悟】
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
【跟踪训练】
1. 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；
(4)没有水分，种子发芽．
题型二 确定样本空间
[例2] 将一枚骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间．
【反思感悟】
确定样本空间的方法
(1)当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．
(2)当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，即用树状的图形把样本点列举出来(如本例)．树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段.
【跟踪训练】
2．袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________.
题型三 事件与事件的表示
[例3]　 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验包含的样本点的总数；
(3)用集合表示下列事件：
①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”；
③T＝“xy＝4”．
【反思感悟】
1．随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．
【多维探究】
1．[变设问]若本例条件不变，问题改为用集合表示事件：P＝“x＋y是偶数”．
2．[变设问]在本例的条件下，“xy是偶数”这一事件是必然事件吗？
　　
五、达标检测
1．下列现象中，是随机现象的有(　　)
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．
②若a为整数，则a＋1为整数．
③发射一颗炮弹，命中目标．
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝ .
3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中___________是随机事件；_____________是不可能事件．(填上事件的编号)
六、本课小结
1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
2．写随机试验的样本空间时，要按照一定的顺序，特别注意题目的关键字，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．
参考答案
课前小测
1．答案：B
解析：①为必然事件；②③为随机事件．
2．答案：C
解析：样本点有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)．共3个．
3．答案：D
解析：一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．故选D.
4．答案：D
解析：掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
5．答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
解析：含a的有ab，ac，ad；
不含a，含b的有bc，bd；
不含a，b，含c的有cd.
∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．
题型突破
[例1]　解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．
(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
【跟踪训练】
1.解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．
(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．
[例2] 解： (树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．
如图所示：
试验的样本空间：
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
【跟踪训练】
2．答案：{红，白，黄，黑}　{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}
解析：从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，
构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．
从中任取两球有6种可能，
分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，
构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
[例3]解：(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)样本点总数为16.
(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}
②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
所以N＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}
③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．
所以T＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}
【多维探究】
1．解：“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．
所以P＝{(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)}．
2．解：当x，y均是奇数时，xy是奇数；当x，y中至少有一个是偶数时，xy是偶数，故“xy是偶数”这一事件是随机事件，而不是必然事件．
达标检测
1．答案：C
解析：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．
2．答案：{12,13,23}
解析：从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：12, 13, 23，
所以Ω＝{12,13,23}．
3．答案：①③　②
解析：因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．

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