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5.3.2　事件的关系和运算
学习目标
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义．(重点)
2.能结合实例进行随机事件的并、交运算．(重点、难点)
学习过程
一、考点精讲
事件的关系和运算
(1)包含关系
定义 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义 A发生导致B发生
符号表示 B A(或A B)
图形表示
特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B
(2)并事件(和事件)
定义 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义 A与B至少一个发生
符号表示 A∪B(或A＋B)
图形表示
(3)交事件(积事件)
定义 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义 A与B同时发生
符号表示 A∩B(或AB)
图形表示
(4)互斥(互不相容)
定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 A∩B＝
图形表示
(5)互为对立
定义 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝ ，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
图形表示
思考1：一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
[提示]　A＝C∩D.
思考2：命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”什么关系？(指充分性与必要性)
[提示]　根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．
二、典例剖析
题型一 事件关系的判断
【例1】　(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
上述事件中，是对立事件的是(　　)
A．①　　　B．②④　　　C．③　　　D．①③
(2)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“全是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．
[方法技巧]
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[活学活用]
1. 从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：
(1)至少有1个白球，都是白球；
(2)至少有1个白球，至少有1个红球；
(3)至少有1个白球，都是红球．
题型二 事件的运算
[探究问题]
1．事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？
[提示]　事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B中的样本点构成的．
2．事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？
[提示]　事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中，也在事件B中的样本点构成的．
3．“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？
[提示]　“事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集．
【例2】　在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
[思路探究]　(1)→
(2)→
[活学活用]
2．在例2的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.
3．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：
①B∪D；②C∪D.
三、达标检测
1．判断正误
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　　)
(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．(　　)
2．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述各对事件中，是对立事件的是(　　)
A．①　　　　　　　 B．②④
C．③ D．①③
3．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为 ．
4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：
(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？
四、本课小结
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们之间既有区别，又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；但两个事件对立，它们一定互斥．
2．进行事件间关系的判断或运算，可借助于图形．
参考答案
典例剖析
【例1】　答案：(1)C　③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.
(2)解析：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：
①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；
同理可以判断
②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；
③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
[活学活用]
1. 解析：　给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，
(1)设B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B A.即A和B不是互斥事件．
(2)设C＝“至少有一个红球”，
则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
所以A和C不互斥．
(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，
因为A∪D＝Ω，A∩D＝ ，所以A和D为对立事件．
【例2】　解析：　在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；
事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝ ， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．
B∩D＝A4＝{出现点数4}．
B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．
[活学活用]
2．解析：　A∩C＝A，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，
B∩C＝A3＝{出现点数3}．
3．解析：　B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.
C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
达标检测
1．解析：(1) 错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．
(3) 错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．
答案：　(1)×　 (2)√　 (3)×
2．答案：C　从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．
3．答案：②　 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．
4．解析：　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，
故C∩A＝A.

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