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5.3.2　事件之间的关系与运算
【学习目标】
1.了解随机事件的包含、互斥、对立的含义，会判断两个随机事件是否互斥、对立.
2.了解随机事件的并事件、交事件的含义，能进行随机事件的并、交运算.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)事件B包含事件A的含义是什么？
(2)什么叫做两个事件的相等？
(3)什么叫和事件？什么是积事件？
(4)什么是互斥事件？什么叫对立事件？
二、课前小测
1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)
A．A B B．A B
C．A＝B D．A2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)
A．A B B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
4．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件一定大于事件A.其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为________．
三、新知探究
1．事件的关系
定义 记法 图示
包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”) A B或 B A
相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B. A＝B A B且B A A与B有相同的样本点 A＝B
互斥事件 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥 AB＝ 或A∩B＝
对立事件 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 A∩＝ 且A∪＝Ω
2．事件的运算
定义 记法 图示
事件A与事件B的并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中 A∪B(或A＋B)
事件A与事件B的交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中 A∩B(或AB)
[说明]　1.互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
四、题型突破
题型一 事件间关系的判断
[例1]　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
【反思感悟】
判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
【跟踪训练】
1. 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
题型二 事件的运算
[例2]　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
【反思感悟】
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　
【跟踪训练】
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
五、达标检测
1．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为(　　)
A．至多做完3套练习题
B．至多做完2套练习题
C．至多做完4套练习题
D．至少做完3套练习题
2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．A∩B表示向上的点数是1或2或3
4．在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：
（1）甲未中靶；
（2）甲中靶而乙未中靶；
（3）三人中只有丙未中靶；
（4）三人中至少有一人中靶；
（5）三人中恰有两人中靶.
六、本课小结
1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们之间既有区别，又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；但两个事件对立，它们一定互斥．
2．进行事件间关系的判断或运算，可借助于图形．
参考答案
课前小测
1．答案：A
解析：由事件的包含关系知A B.
2．答案：B
解析：由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；
事件B表示出现的点数是2或4或6.
故A∩B＝{出现的点数为2}．
3．答案：D
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．
由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．
4．答案：C
解析：对立必互斥，互斥不一定对立，
∴②③对，①错；
对于④A A∪B，即A与B的和事件包含事件A，但两个事件不能比较大小，
故④错．
5．答案：恰有一个红球
解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，
这一随机试验的样本空间Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}，
且A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．
所以A∩B＝{(白、红)}．
故A∩B表示的事件为恰有一个红球．
题型突破
[例1]　解：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
【跟踪训练】
1.解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
[例2]　解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，
所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；
事件D2包含事件C4，C5，C6；
事件F包含事件C2，C4，C6；
事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，
E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，
F＝C2∪C4∪C6，
G＝C1∪C3∪C5.
【跟踪训练】
2．解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，
故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，
故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，
而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，
所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
达标检测
1．答案：B
解析：至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，
故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．
2．答案：C
解析：A中的两个事件能同时发生，故不互斥；
同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；
D中两个事件是对立的，
故选C.
3．答案：C
解析：设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，
∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
4．解：（1）甲未中靶：.
（2）甲中靶而乙未中靶：A∩，即A.
（3）三人中只有丙未中靶：A∩B∩，即AB.
（4）三人中至少有一人中靶.
（5）三人中恰有两人中靶（AB）∪（AC）∪（BC）.

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