资源简介

5.3.3.1　古典概型
学习目标
1．结合具体实例，理解古典概型．(重点)
2．能计算古典概型中简单随机事件的概率．(重点、难点)
学习过程
一、考点精讲
1．古典概型的定义
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
思考1：“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？
[提示]　不属于古典概型．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型．
思考2：若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？
[提示]　不一定是古典概型．还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型．
二、典例剖析
题型一 古典概型的判断
【例1】　下列是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
[方法技巧]
判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[活学活用]
1．下列试验是古典概型的为 ．(填序号)
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
题型二 较简单的古典概型问题
【例2】　某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．
[方法技巧]
求解古典概率“四步”法
[活学活用]
2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
题型三 较复杂的古典概型问题
[探究问题]
1．古典概型的概率计算公式是什么？
[提示]　事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
2．计算较复杂的古典概型的概率的关键是什么？
[提示]　关键有两个：一是正确理解试验的意义，写出样本空间所包含的样本点及其总数；二是正确理解样本点与事件A的关系，正确计算事件A所包含的样本点数．
【例3】　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[思路探究]　→→
[活学活用]
1．在例3中求小亮获得玩具或水杯的概率．
2．将例3中奖励规则改为：①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具一个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率．
[方法技巧]
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性．
(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件．
三、达标检测
1．判断正误
(1)任何一个事件都是一个样本点．(　　)
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．(　　)
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．(　　)
2．下列试验是古典概型的是(　　)
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球}
B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
3．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4．掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．
四、本课小结
1．古典概型是一种最基本的概率模型．判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性．
2．求随机事件A包含的样本点的个数和样本点的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
3．在应用公式P(A)＝＝时，关键是正确理解样本点与事件A的关系，从而正确求出n(A)和n(Ω)．
参考答案
典例剖析
【例1】答案：C　 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
[活学活用]
1．答案：①②④　 ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
【例2】解析：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{ (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个，
所以检测出不合格产品的概率为＝.
[活学活用]
2．解析：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝＝.
(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝.
【例3】解析：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，
则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，
即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的样本点共6个，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点个数共5个，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．
所以P(C)＝.因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
[活学活用]
1．解析：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.
记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数共11个，
即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
所以P(E)＝.
2．解析：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，
则样本空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16.
记“3≤x＋y≤5”为事件D，则事件D包含的样本点个数共9个，
即D＝{(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)}．所以P(D)＝.
达标检测
1．解析：(1)错误．一个事件可能是一个样本点，也可能包含若干个样本点．
(2)正确．
(3)正确．古典概型中任何两个样本点都不能同时发生，所以是互斥的．
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．答案：C 根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征．
3．答案：C　 [样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率：P＝＝.
4．解析：这个试验的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}．样本点总数n＝6，设事件A＝“掷得奇数点”＝{1,3,5}，其包含的样本点个数m＝3，所以P(A)＝＝.

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