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5.3.3　古典概型
【学习目标】
1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题．
2.会用求古典概型的公式方法求解概率问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
1. 满足什么条件的概率模型是古典概型？
2. 古典概型的概率计算公式是什么？
二、课前小测
1．下列试验中，属于古典概型的是(　　)
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
2．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)
①样本空间的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点发生的可能性相等；
④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D．1
4．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A. B.
C. D.
三、新知探究
1.古典概型
我们将具有（1）有限性（2）等可能性两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝＝. 其中，n（A）和n（）分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
[知识点睛]
(1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
四、题型突破
题型一 古典概型的判断
[例1]　判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
【反思感悟】
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．
【跟踪训练】
1. 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
题型二 样本点的计数问题
[例2]　(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有样本点；
②求这个试验的样本点的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
【反思感悟】
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
【跟踪训练】
2. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
题型三 简单的古典概型的概率计算
[例3]　袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
【反思感悟】
求解古典概型的概率“四步”法
【跟踪训练】
3. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A. B.
C. D.
题型二 含“有放回”抽取的古典概型问题
[例4]　小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．
【反思感悟】
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
【跟踪训练】
4. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
五、达标检测
1．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)
A. B.
C. D．1
3．从3男3女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于 ．
4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为________．
六、本课小结
1．古典概型是一种最基本的概率模型．判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性．
2．求随机事件A包含的样本点的个数和样本点的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
3．在应用公式P(A)＝＝时，关键是正确理解样本点与事件A的关系，从而正确求出n(A)和n(Ω)．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等．
2．答案：B
解析：根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
3．答案：C
解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
4．答案：C
解析：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有以下10种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．
其中含有红色彩笔的有4种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，
所以所求事件的概率P＝＝.
故选C.
题型突破
[例1] 解：根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．
【跟踪训练】
1. 解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
[例2] (1)答案：C
解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．
(2) 解析：①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
②这个试验包含的样本点的总数是8.
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
【跟踪训练】
2. 解：(树状图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：
(1)由图知，共36个样本点．
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．
[例3] 解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)因为A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，
从而P(A)＝＝＝；
(2)因为B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，所以n(B)＝8，
从而P(B)＝＝.
【跟踪训练】
3.答案：B
解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．
其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．
故恰有2只测量过该指标的概率为＝.
故选B.
[例4] 解：将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5.
(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，
所以P(A)＝＝0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，
则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.
【跟踪训练】
4.解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．
设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，
所以A＝，所以n(A)＝4，
从而P(A)＝＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．
由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．
设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝，
所以n(B)＝4，从而P(B)＝＝.
达标检测
1．答案：B
解析：根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
2．答案：C
解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，
其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
3．答案：
解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，
则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，
其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，
故所求的概率为＝.
4．答案：
解析： 从1,2,3,4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共有以下6种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2)，(2,4)两种．
∴所求概率为＝.

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