资源简介

5.3.4.1频率与概率
学习目标
1、理解频率的稳定性．
2、结合实例，会用频率估计概率．(重点、难点)
学习过程
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 频率具有什么性质？
(2) 频率稳定性有什么作用？
二、预习检测
1．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为　　　 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
2．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话(　　)
A．正确 B．错误
C．有一定道理 D．无法解释
3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)
A．64个　　　 B．640个　　　 C．16个　　　 D．160个
三、考点精讲
1．频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
2．频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
思考：频率和概率有什么区别和联系？
[提示]　区别：
(1)在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率是度量随机事件发生的可能性大小的量
(3)频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．
联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
四、典例剖析
题型一 频率和概率的区别和联系
【例1】　 下列说法正确的是(　　)
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
[方法技巧]
理解概率与频率应关注的三个方面
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
[活学活用]
1．“某彩票的中奖概率为”意味着(　　)
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
题型二 用随机事件的频率估计其概率
【例2】　某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [0，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[思路探究]　根据频率的定义计算，并利用频率估计概率．
[方法技巧]
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
[活学活用]
2．某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔偿金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
题型三 游戏的公平性
[探究问题]
1．判断某种游戏规则是否公平的标准是什么？
[提示]　如果参加比赛的双方获胜(或失败)的概率是一样的，那么就说明这个游戏规则是公平的；否则就是不公平的．
2．小明和小红通过抓阄决定谁代表班级参加学校举行的演讲比赛，规则如下：在一个不透明的盒子里有三个质地完全相同的小卡片，上面分别写有“参加”“不参加”“谢谢参与”，小明和小红分别从中摸取一个小卡片，摸到“参加”者代表班级参加学校举行的演讲比赛．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
[提示]　公平．因为每个人摸到“参加”的概率都是.
【例3】　某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[思路探究]　计算和为偶数时的概率是否为，概率是就公平，否则不公平．
[活学活用]
3．在例3中，若把游戏规则改为：两人各自转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？
4．若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
[方法技巧]
游戏公平性的标准及判断方法
(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．
五、达标检测
1．判断正误
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．(　　)
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．(　　)
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．(　　)
2．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为(　　)
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
4．试解释下面情况中概率的意义：
(1)某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；
(2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98.
六、本课小结
1．概率与频率的区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．
2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事件的频率来估计其概率．
参考答案
预习检测
1．答案：B　做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．
2．答案： B　 从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．
3．答案：C　 由题意得80×(1－80%)＝80×20%＝16个．
典例剖析
【例1】答案：D　 一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
[活学活用]
1．答案：D　 某彩票的中奖率为，意味着中奖的可能性为，可能中奖，也可能不中奖．
【例2】解析：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.
所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是＝0.6，
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
[活学活用]
2．解析：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12，
由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
【例3】解析：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
[活学活用]
3．解析：不公平．因为乘积出现奇数的概率为＝，而出现偶数的概率为＝.
4．解析：(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
达标检测
1．解析：(1)错误．二者可能相等．
(2)错误．频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的．
(3)错误．频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小．
答案：(1)×　(2) × (3) ×
2．答案：A　 由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．
3．答案：B　次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.
4．解析：(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%.
(2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%.

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