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5.3.4 频率与概率
【学习目标】
1.了解随机事件发生频率的随机性与概率的稳定性以及频率与概率含义上的区别．
2.会通过大量的重复试验，用这个事件的频率近似地作为它的概率.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 频率具有什么性质？频率稳定性有什么作用？
(2) 产生随机数有哪些方法？
二、课前小测
1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　)
A．若他投100次，一定有50次投中
B．若他投一次，一定投中
C．他投一次投中的可能性大小为50%
D．以上说法均错
2．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的(　　)
A．频率为 B．概率为
C．频率为12 D．概率接近
3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)
A．64个 B．640个
C．16个 D．160个
4．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．
5．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．
三、新知探究
1．概率的统计定义
(1)对频率随机性的理解
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．
(2)对频率稳定性的理解
随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且0≤P(A)≤1.
2．频率与概率的区别与联系
频率 概率
区别 本身是随机的观测值（试验值），在试验前无法确定，多数会随着试验的改变而变化，做同样次数的重复试验，得到的结果也会不同 本身是固定的理论值，与试验次数无关，只与事件自身的属性有关
联系 频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率
3．产生随机数的方法
(1)利用计算器或计算机软件产生随机数．
(2)构建模拟试验产生随机数．
4．蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．
思考：用频率估计概率时，用计算机模拟试验产生随机数有什么优点？
提示：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行．因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域．
四、题型突破
题型一 概率的定义
[例1]　解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
【反思感悟】
三个方面理解概率
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
【跟踪训练】
1．下列说法正确的是(　　)
A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
2．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________(填序号)．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
题型二 利用频率估计概率
[例2]　(1)下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.
试验序号 抛掷的次数n 正面朝上 的次数m “正面朝上”出 现的频率
1 500 251
2 500 249
3 500 256
4 500 253
5 500 251
6 500 245
7 500 244
8 500 258
9 500 262
10 500 247
(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 频数 频率
[500,900) 48
[900,1 100) 121
[1 100,1 300) 208
[1 300,1 500) 223
[1 500,1 700) 193
[1 700,1 900) 165
[1 900，＋∞) 42
①求各组的频率；
②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
【反思感悟】
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
【跟踪训练】
2. 国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示：
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率；
(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？
题型三 随机模拟试验的应用
[例3]　种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率．写出模拟试验的过程，并求出所求概率．
[思路探究]　用计算机产生10个随机数，用其中9个代表成活，1个代表没成活， 5个随机数一组即可计算．
【反思感悟】
利用随机模拟估计概率应关注三点
用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．
【跟踪训练】
3. 在例3中若树苗的成活率为0.8，则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少？
五、达标检测
1．判断正误
(1)随机事件的频率和概率不可能相等．(　　)
(2)随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．(　　)
(3)概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．(　　)
2．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话(　　)
A．正确 B．错误
C．有一定道理 D．无法解释
3．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率约为 ．
六、本课小结
1．概率与频率的区别：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性．
2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率，因此可以用随机事件的频率来估计其概率．
3．随机模拟试验的步骤：(1)设计概率模型；(2)进行模拟试验；(3)统计试验结果．
4．计算器和计算机产生随机数的方法：构建模拟试验产生随机数或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)，可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：概率是指一件事情发生的可能性大小．
2．答案：A
解析：抛硬币20次，正面朝上出现了12次，记事件A＝“正面向上”，所以A的频率为P＝＝.
3．答案：C
解析：由题意知，经抽检市场上食用油的合格率为80%，则不合格率为20%.已知市场上的食用油大约有80个品牌．用频率估计概率可得80×20%＝16(个)，故市场上不合格的食用油大约有16个品牌．
4．答案：白
解析：取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，
故可估计袋中数量较多的是白球．
5．答案：50
解析：设有n套次品，
由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，
所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．
题型突破
[例1]　解：(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
【跟踪训练】
1．答案：D
解析：一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
2．答案：②
解析：能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
[例2]　解：(1)由fn(A)＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512，0.506，0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.
(2)①频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
【跟踪训练】
2. 解：(1)如表所示：
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.
[例3] 解：先由计算机随机函数RANDBETWEEN(0,9)，或计算器的随机函数RANDI(0,9)产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果，经随机模拟产生随机数，例如，如下30组随机数：
69801　66097　77124　22961　74235　31516
29747　24945　57558　65258　74130　23224
37445　44344　33315　27120　21782　58555
61017　45241　44134　92201　70362　83005
94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.
【跟踪训练】
3. 解：利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组，例如，产生20组随机数：
23065　37052　89021　34435　77321　33674　01456
12346　22789　02458　99274　22654　18435　90378
39202　17437　63021　67310　20165　12328
这就相当于做了20次试验，在这些数组中，如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20＝0.75.
达标检测
1．答案：(1)× (2)× (3)×
提示：(1)错误．二者可能相等．
(2)错误．频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的．
(3)错误．频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小．
2．答案：B
解析：从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．
3．答案：0.367
解析：产生30组随机数，就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367.

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