资源简介

5.3.5　随机事件的独立性
【学习目标】
1. 通过阅读教材实例，弄清随机事件相互独立的含义，注意相互独立事件与互斥事件的区别．
2. 能够运用相互独立事件的概率计算公式进行概率计算.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) 什么是相互独立事件？
(2) 相互独立事件有哪些性质？
二、课前小测
1．把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是(　　)
A．互斥但非对立事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．以上答案都不对
2．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　)
A. B．
C. D.
3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A. B．
C. D.
4．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
5．一件产品要经过两道独立的工序， 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________．
三、新知探究
1．事件的相互独立性
(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
(3)公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(4)两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
2．相互独立事件与互斥事件的概率计算
概率 A，B互斥 A，B相互独立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
[说明]　①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B.
四、题型突破
题型一 事件独立性的判断
[例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
【反思感悟】
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
【跟踪训练】
1. 从52张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A.
题型二 求相互独立事件的概率
[例2]　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率；
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
【反思感悟】
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
【多维探究】
1．[变设问]在本例条件不变下，求三人均未被选中的概率．
2．[变条件，变设问]若本例条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．
题型三 相互独立事件概率的实际应用
[例3]　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
【反思感悟】
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
【跟踪训练】
3. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．
五、达标检测
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A 与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是(　　)
A．0.64 B．0.56
C．0.81 D．0.99
3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是 ．
4．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率．
六、本课小结
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生，即A∩B＝
概率公式 事件A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)P(B) 事件A与B互斥， 则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
2.在涉及“至多”“至少”等事件的概率时，常利用对立事件的概率公式求解．
参考答案
课前小测
1．答案：C
解析：相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，
因此它们不可能互斥．
故选C.
2．答案：D
解析：由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝×＝.故选D.
3．答案：D
解析：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.
4．答案：0.56
解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
5．答案：(1－a)(1－b)
解析：由题意可知，该产品为正品是第一道工序和第二道工序都为正品，故该产品为正品的概率为P＝(1－a)(1－b)．
题型突破
[例1]　[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．
【跟踪训练】
1. 解：(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，
事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，
故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．
[例2]　[解]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同时被选中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被选中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P(A∪B∪C)
＝××＋××＋××
＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为
P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
【多维探究】
1．解：
法一：
三人均未被选中的概率P＝P( )＝××＝.
法二：
由例2(2)知，三人至少有1人被选中的概率为，
∴P＝1－＝.
2．解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，
则P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝，①
P(A)P(B)＝，②
由①②知P(A)＝，P(B)＝，
故恰有2人被选中的概率
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝.
[例3]　[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
则不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]
＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)
＝×＝.
【跟踪训练】
3.解：记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1,2,3)，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
法一：
该选手被淘汰的概率为
P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)
＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)
＝＋×＋××＝.
法二：
该选手被淘汰的概率为1－P(A1A2A3)＝1－××＝.
达标检测
1．答案：A
解析：由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.
2．答案：C
解析：Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.
3．答案：
解析：由题意知P＝×＋×＝.
4．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B(i＝1,2,3)．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为
P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.

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